随着新能源产业的发展，锂离子电池的使用需求日益增长。与一些传统的如铅酸、镍镉等电池相比，锂电池具有能量高、自放电率低、快速充放电、无毒、无记忆效应、循环寿命长等优点。锂电池在新能源汽车、航空和配电储能系统等电源应用场景中发挥着重要作用。尽管锂电池具有很多优点，但它们也受到诸如电池材料和当前制造工艺的因素的限制，导致单体锂电池之间存在内阻、容量、电压等差异^[1,2]。在实际应用中，电池组内的单个电池容易散热不均匀或过度充电和放电。随着时间的推移，这些处于恶劣工作条件下的电池可能会提前损坏，并且电池组的整体寿命大大缩短。锂电池的安全使用仍然是一个问题，直接影响其容量和寿命的利用效率。为了确保动力电池安全可靠的运行，准确估计锂电池荷电状态（state of charge，SOC）对于能量和安全管理至关重要。目前荷电状态估算方法有安时积分、神经网络、粒子滤波、卡尔曼滤波及其改进算法等^[3,4,5,6,7]。温度对于锂电池具有极大影响，中国大部分地区一年温差超过30 ℃，在实际使用中，动力锂电池必须考虑温度的影响。

通过在不同温度下对电池进行容量及混合脉冲功率性能测试实验（hybridge pulse power characteristic，HPPC）获取电池特性，分析不同荷电状态、不同温度下对锂电池开路电压、欧姆内阻、极化电阻和极化电容等参数的影响，准确建立适应温度变化的Thévenin等效电路模型。由于所有算法程序运行在计算机上，可能由于计算机字长有限，存在计算误差，误差累积严重时，能使误差方差阵P_k逐渐失去正定性或对称性，导致滤波发散。为解决这一问题，在扩展卡尔曼滤波（extend Kalman filter，EKF）算法上，运用平方根分解对EKF算法进行改进用于对SOC进行准确估算。

如今锂电池等效模型主要有纯数学模型、电化学模型和等效电路模型。因等效电路模型具有计算简单、物理意义明确的优点，其应用最为广泛。简单的模型易于计算，无法准确描述电池的工作特性；复杂的模型可以更好地表征电池的充放电特性，但计算量大大增加。锂电池Thévenin等效电路模型如图1所示。

图中，U_oc表示锂电池组的开路电压；R_O表示欧姆内阻，表示电池的欧姆效应；R_P表示锂电池的极化电阻；C_P表示极化电容；RC并联电路表征电池的极化效应；i（t）表示负载电流，其中充电方向为正；U_L表示电池组外部连接时的闭路电压；T为电池温度。根据图1所示的电路并依据基尔霍夫定律列出电路方程如式（1）所示。

式中，U_P为极化电容C_P端电压。根据所采用的Thévenin等效电路模型，选取[SOC U_P]^T作为状态变量，结合式（1）及SOC的定义经过离散化可以列出锂电池状态空间方程如式（2）所示。

式中，Q_n为电池额定电量；η为库仑效率；Δt为采样周期；τ=R_PC_P为时间常数；w为过程噪声；v为观测噪声。卡尔曼滤波算法将w、v视为高斯白噪声。

锂电池Thévenin模型所需辨识的参数有欧姆内阻R_O、开路电压U_OC、极化电阻R_P和极化电容C_P。这里参考《美国Freedom CAR电池实验手册》对锂电池进行混合脉冲功率性能测试实验（hybridge pulse power characteristic，HPPC），以电流为激励，以端电压为响应，根据锂电池外部端电压变化，根据最小二乘原理进行离线参数辨识。研究对象为中航锂电三元锂电池LFP 50 A·h，其基本信息如表1所示，所使用电池测试设备为亚科源BTS750-200-100-4，恒温箱为贝尔试验设备有限公司BTT-331C。

单次HPPC实验工步为：以放电倍率1 C恒流放电10 s、搁置40 s、以1 C（这里电流为50 A）恒流充电10 s、再搁置。HPPC实验中的电流曲线及其相应的电压变化曲线如图2所示。

通过分析图2所示的HPPC实验电压变化曲线，可以提取变化特征以获得模型参数。图2的分析可以提取以下特征。

（1）锂电池端电压从U₁突降变为U₂，主要是由于锂电池的欧姆内阻引起的电压变化。同理，锂电池端电压从U₃突升变为U₄，也是由锂电池的欧姆内阻引起的电压变化引起的。因此获取欧姆电阻R_O的值如式（3）所示。

（2）锂电池端电压从U₂缓慢下降到U₃，是由于电池极化效应造成的。放电电流对极化电容器充电，是RC回路的零状态响应。选择从U₂到U₃电压数据，U₂为时间零时刻，对电路进行分析，列出方程如式（4）所示。

将极化电阻R_O和τ作为未知数，根据公式（4）和t实验数据，使用MATLAB中的曲线拟合工具，可以直接得到极化电阻R_P和时间常数τ的值，根据τ=R_PC_P计算得到极化电容C_P。

（3）开路电压U_OC是当电池长时间放置时电池在正极和负极两端稳定的电压。实验表明，电池放电40 min后的电压是稳定的，可以认为是等于电池的开路电压。因此，控制好温度、SOC值，图2（a）中的U₁可以作为相应的相应开路电压。

卡尔曼滤波是一种线性无偏递推滤波器，计算过程中是不断进行预测-修正。每当观测到新的数据，随时算出新的预测值，非常便于实时处理。锂电池由于放电倍率、温度和内部复杂的化学反应，呈现出非线性状态，在卡尔曼的基础上运用泰勒公式取其一阶项，省略高阶项，进行线性化处理，得到扩展卡尔曼滤波算法。锂电池模型可以用如式（5）所示状态空间方程表示。

式中，X_k为k时刻的状态向量，X_k-1为上一时刻的状态向量，A为状态转移矩阵，B为控制矩阵，C为观测矩阵，D为前馈矩阵。对于上述状态空间模型表达式（5）运用卡尔曼滤波算法进行状态预测估算。卡尔曼滤波算法具体如式（6）所示。

式中，X_k为k时刻根据模型及上一时刻值X_k-1直接计算出来的状态向量值，P_k为其对应的协方差矩阵，K_k为Kalman增益，R_v为观测噪声方差阵，通过Kalman增益修正得到k时刻最优预测估计值X_k、P_k，后续一直循环迭代得到每一时刻的估计值。在EKF算法上，针对误差方差阵P_k进行分解。使P_k=S_kS_k^T，不计算协方差矩阵改为对协方差分解矩阵S_k进行迭代更新，相应的滤波公式变化如式（7）所示。

式中，S_k|k-1为k时刻根据模型及上一时刻值S_k-1直接计算出来D的协方差分解矩阵，F_k、α_k、γ_k为便于公式简洁的中间变量。在给定初值后，通过公式（7）进行迭代更新计算，由于将协方差矩阵P_k进行分解，至少保证P_k总是非负定的，可以克服因计算机字长有限而引起的滤波发散。

通过在不同温度、不同SOC值时进行上述HPPC实验，并基于实验数据进行参数辨识，将辨识得到的Thévenin模型参数原始数据值为纵坐标，所对应的SOC为横坐标连点成线如图3所示。

图3（a）为不同温度下的U_OC-SOC曲线，从图中可以看出，不同温度下的U_OC变化趋势一致。在SOC>20%时，不同温度下开路电压差距不大；在SOC<20%时，差异变大，温度较低时，其开路电压较高。

图3（b）为不同温度下的R_O-SOC曲线，从图中可以看出，在SOC>20%时，各温度下，欧姆内阻值相对平缓，无明显变化，可以取均值，视为欧姆内阻不变；在SOC<20%时，欧姆内阻值迅速变大。同时，40 ℃和30 ℃曲线基本重合，可以认为其欧姆内阻相同，随着温度降低，欧姆内阻增大，且每下降10 ℃，欧姆内阻加速增大。

图3（c）为不同温度下的R_p-SOC曲线，从图中可以看出，不同温度下的极化电阻R_p变化趋势一致。在SOC>20%时，极化电阻R_p无明显变化；在SOC<20%时，极化电阻R_p变大，且不同温度下的极化电阻R_p无明显区分，表明温度变化对极化电阻R_p影响相对较小。

图3（d）为不同温度下的C_p-SOC曲线，从图中可以看出，不同温度下的极化电容C_p变化相对较乱。但可以看出在SOC<20%时，不同温度下极化电容C_p都变小。随着温度的降低，极化电容C_p有较小程度的减小。

由上述分析可知在温度不变且SOC>20%时，欧姆内阻无明显变化，故取均值。考虑温度的影响，以20 ℃下欧姆内阻值1.2391 mΩ为基准1，其他温度下的欧姆内阻值除以1.2391，得到温度影响系数ξ，具体值如表2所示。

选取表2中数据根据最小二乘原理以多项式拟合的方式建立温度影响系数ξ和温度T的函数。这里选取三阶多项式拟合得到函数关系如式（8）所示。

当SOC<20%时，在温度一定时，考虑计算复杂程度，将20 ℃时的SOC与R_O的关系用一阶线性函数表示，然后再在此之上叠加温度影响系数，最终得到R_O与SOC、T的函数关系如式（9）所示。

由图3分析知温度对极化内阻、极化电容、开路电压影响较小，故选择20 ℃下所辨识的开路电压、极化内阻、极化电容值，根据最小二乘原理通过多项式拟合的方式得到函数关系如式（10）所示。

通过在不同温度、不同SOC值时进行上述HPPC实验，并基于实验数据进行参数辨识，将辨识得到的Thévenin模型参数值为纵坐标，以SOC为横坐标连点成线如图3所示。根据2.1节所辨识出的Thévenin模型参数，选择在MATLAB上进行仿真验证在该模型下的SOC估算效果，具体模型如图4所示。

图4所示仿真中，导入实验采集的真实电池电流电压温度数据到模块中作为输入，主要有三个模块，分为是根据温度和电流计算实际SOC，根据输入温度和SOC值的model函数模块，根据输入电流、电压、模型参数的EKF算法模块。这里采用的工况数据为参考北京公交动态测试（Beijing bus dynamic stress test，BBDST）工况度电池进行实验，将实验数据进行SOC估算验证。当天电池温差达到10 ℃，最低温度16 ℃，最高温度26 ℃。设定其SOC初值为90%，实际为充满电，即SOC为100%。仿真结果如图5所示。

在图5（a）中，SOC1是真实SOC值，SOC2是使用EKF算法的SOC估计值，SOC3是使用改进EKF算法的SOC估计值。图5（b）为SOC估算结果的局部放大，这里选取84%～86%。图5（c）是估算SOC值与实测SOC相减所得的误差曲线，ERO1是改进EKF算法估算误差，ERO2是EKF算法估算误差。

从图中可以看出，在初始误差达到10%时，算法能迅速修正初始SOC误差。迭代50s后，基于所使用变温度下的Thévenin等效电路模型运用改进EKF进行SOC估算的最大误差小于1.5%，将误差取绝对值，获得平均误差为0.37%。

（1）温度对三元动力锂电池的欧姆内阻影响极大。在-10～40 ℃间，随着温度升高，电池欧姆内阻减小，当温度上升到30 ℃以后，欧姆内阻无明显变化。相比之下，温度对开路电压、极化电阻、极化电容影响较小。

（2）在温度一定，SOC高于20%时，三元锂电池极化电阻、极化电容、欧姆内阻值相对稳定，在SOC低于20%时，欧姆内阻、极化电阻明显增大，极化电容略微减小。

（3）改进EKF算法用于动力锂电池SOC估算，可以修正锂电池初始SOC值误差，并使最大估算误差低于1.5%，平均误差为0.37％。

（4）改进EKF算法与EKF算法比较，在粗估阶段，有较大波动，在精估阶段，改进EKF曲线相对平稳，估算更平稳。