锂离子电池参数辨识及荷电状态的估算

doi:10.19799/j.cnki.2095-4239.2022.0298

锂离子电池参数辨识及荷电状态的估算

刘志聪^,, 张彦会^,

广西科技大学机械与汽车工程学院，广西柳州 545616

Parameter identification and state of charge estimation of lithium-ion batteries

LIU Zhicong^,, ZHANG Yanhui^,

School of Mechanical and Automotive Engineering, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545616, Guangxi, China

通讯作者: 张彦会，副教授，新能源汽车及智能化技术，E-mail：zhangyanhui33@qq.com。

收稿日期: 2022-06-01 修回日期: 2022-06-16

基金资助:

广西科技大学研究生教育创新计划项目. GKYC202212
柳州市科技计划项目. 2019DH10603

Received: 2022-06-01 Revised: 2022-06-16

作者简介 About authors

刘志聪（1997—），男，硕士研究生，电动汽车电池管理系统，E-mail：2015918310@qq.com； E-mail：2015918310@qq.com。

摘要

实现对锂电池的荷电状态(state of charge，SOC)的准确估算对电动汽车电池管理系统具有重要意义。采用了二阶RC等效电路模型对电池进行精确建模，并分别利用离线参数辨识和带遗忘因子的递推最小二乘法的在线参数辨识方法对等效电路中的参数进行辨识，在确保模型精度满足要求后，利用扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter，EKF)算法来实现对电池SOC的准确估算。以美国联邦城市运行工况(federal urban driving schedule，FUDS)和城市道路循环工况(urban dynamometer driving schedule，UDDS)进行仿真实验，并将实验中标准SOC值与离线辨识和在线辨识的SOC估计值进行对比分析。实验结果表明，在FUDS工况和UDDS工况下利用EKF算法估算SOC的平均误差都在2.5%以下，且在线参数辨识模型比离线参数辨识模型的平均误差分别降低了0.7%和0.9%。证明了EKF算法能实现对电池SOC的准确估算，且在线参数辨识方法下的电池模型具有更高的估算精度。

关键词： 锂离子电池 ; 等效电路模型 ; 带遗忘因子的递推最小二乘法 ; 扩展卡尔曼滤波

Abstract

It is crucial for the battery management system of electric vehicles to accurately estimate the state of charge (SOC) of lithium batteries. The offline parameter identification and the online parameter identification approaches of recursive least squares with forgetting factor are employed to identify the parameters in the equivalent circuit, where the second-order RC equivalent circuit model is employed to accurately model the battery, and, after ensuring the accuracy of the model meets the requirements, the extended Kalman filter (EKF) algorithm is employed to accurately estimate the battery's SOC. The simulation experiment was conducted with the federal urban driving schedule (FUDS) and urban dynamometer driving schedule (UDDS), and the standard SOC value in the experiment is compared with the SOC estimation values of offline identification and online identification. The experimental findings demonstrate that the average error of SOC estimation using the EKF algorithm under FUDS and UDDS conditions is less than 2.5%, and the average error of the online parameter identification model decreased by 0.7% and 0.9% than offline parameter identification model, respectively. The battery model under the online parameter identification approach is shown to have higher estimation accuracy and it is proved that the EKF algorithm can realize an accurate estimation of battery SOC.

Keywords： lithium-ion battery ; equivalent circuit model ; forgetting factor recursive least square ; extended Kalman filter

PDF (2077KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

刘志聪, 张彦会. 锂离子电池参数辨识及荷电状态的估算[J]. 储能科学与技术, 2022, 11(11): 3613-3622

LIU Zhicong. Parameter identification and state of charge estimation of lithium-ion batteries[J]. Energy Storage Science and Technology, 2022, 11(11): 3613-3622

近年来，由于环境问题日益突出和石油资源的逐渐匮乏，新能源电动汽车得到了越来越多的关注。锂离子电池作为电动汽车的主要储能部件也逐渐成为众多学者研究的热点问题，锂离子电池的荷电状态(state of charge，SOC)估算精度一直以来都是制约电动汽车发展的重要因素。SOC反映的是电池剩余可用容量与电池最大可用容量的比值，精确的SOC值一方面对整个电池管理系统(battery management system，BMS)具有重要意义，BMS通过反馈的SOC值来实现对电池的调节控制，另一方面，对于驾驶而言精确的SOC值可以帮助驾驶人员合理安排出行避免出现电量里程焦虑。

为了提高对电池SOC的估算精度，国内外学者进行了大量的研究。在估算方法方面，既有传统的安时积分法和开路电压法，又有基于模型的估算方法和基于机器学习等估算方法。安时积分法和开路电压法由于受到传感器测量误差和电池静置问题的限制很难单独应用于电池SOC的估算，而基于机器学习的估算方法需要对电池进行大量的实验和对数据进行训练，工作量比较巨大^[1]。基于电池模型的估算方法能够克服传统方法和机器学习方法的一些局限性，成为了目前最为普遍的电池SOC估算方法。目前，电化学模型和等效电路模型是最常见的电池建模方法，其中电化学模型中涉及大量电池内部化学反应，整个建模过程中存在着许多复杂的方程式且要求专业的化学知识，对建模者要求较高，而等效电路模型则是利用简单的电路元件的组合来描述电池工作时的电压电流变化关系，模型中具有清晰简单的函数关系式，是大部分学者都选择的建模方式^[2]。参数辨识也是电池SOC估算中的重要环节，在完成电池等效模型建立后，需要对模型中的各参数进行辨识确定其参数值，参数辨识方法主要有基于脉冲放电实验下的离线参数辨识，但是离线参数辨识的模型参数是固定的，在一些复杂的电池工况下，离线辨识得到的参数值不能准确反映电池当前工作下的电池变化情况，所以有学者提出了在线参数辨识方法。递推最小二乘法是常用的在线参数辨识方法，但是随着递推的进行会因数据饱和的现象造成辨识出现误差，于是文献[3]通过带遗忘因子的最小二乘法对模型进行在线参数辨识来解决数据饱和等问题，文献[4]利用自适应遗忘因子来解决在递推过程中遗忘因子固定不变的问题能更好地达到辨识效果。

在估算算法方面经常利用卡尔曼滤波(Kalman filter，KF)算法来实现对电池SOC的估算，但是传统的KF算法解决的是一般的线性问题，而电池在工作时是一个高度的非线性系统，为此有学者在KF的算法基础上提出采用扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter，EKF)算法来处理非线性的电池系统，通过对函数进行泰勒级数展开，取其一次项来近似非线性系统，该方法的缺点是在处理较强的非线性系统时存在着较大的系统误差，且系统噪声被假定为相互独立的高斯白噪声。EKF中固定的过程噪声和测量噪声会降低系统的估算精度，针对这个问题文献[5]中提出了新的自适应卡尔曼滤波(adaptive extended Kalman filter，AEKF)算法，将自适应更新协方差矩阵的特性添加到EKF中，让系统的噪声特性能根据估计结果而自适应更新从而提高SOC的估算精度。此外，为了进一步解决系统的非线性所带来的误差问题，文献[6]在EKF算法的基础上提出了sigma-point卡尔曼滤波(sigma-point Kalman filter，SPKF)方法来估计非线性系统的状态。

建立一个准确的电池模型和实现对模型参数的精确辨识是实现对电池SOC估算的基本前提，本工作采用能表征电池电化学极化和浓度差极化的二阶RC等效电路模型来实现对电池的建模，提高了电池的建模精度；并分别利用了离线和在线参数辨识方法来对等效电路中的参数进行辨识，两种参数辨识方法都能满足模型精度要求。最后在FUDS和UDDS工况下验证了EKF算法对电池SOC估算的有效性，并证明了在相同的工况下在线参数辨识模型的SOC估算精度要高于离线参数辨识模型。

1 理论分析

1.1　电池等效电路模型的建立

目前，比较主流的电池模型有电化学模型、等效电路模型和黑盒模型等，本工作采用的是等效电路模型。等效电路模型利用电器元件组成的回路来模拟电池工作时的电流与电压变化，其简单的函数关系式和明显的电气特性受到广大学者的关注。其中包含了Rint模型、PNGV模型、GNL模型和RC回路模型等^[7]，每个模型都有自己的优缺点。本工作采用了拥有两个RC回路和一个欧姆内阻的二阶RC模型来模拟电池的动态变化特性，原理如图1所示。两个RC回路分别表示了电池的电化学极化和浓度差极化，欧姆内阻表示了电池的内阻特性，该模型相较于其他模型具有更高的模拟精度，参数辨识也较其他模型更为方便准确。

图1

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图1 二阶RC等效电路模型

Fig. 1 2RC equivalent circuit model

图1中，U_oc表示电池的开路电压；U_t表示电池的端电压；I表示电池工作时的充放电电流；R₀表示电池的欧姆内阻；R₁和R₂表示电池的极化电阻；C₁和C₂表示电池的极化电容。运用基尔霍夫定律可以得到回路的函数关系式：

\{\begin{array}{l} U_{o c} = I R_{0} + U_{1} + U_{2} + U_{t} \\ I = \frac{U_{1}}{R_{1}} + C_{1} \frac{d U_{1}}{d t} \\ I = \frac{U_{2}}{R_{2}} + C_{2} \frac{d U_{2}}{d t} \end{array}

(1)

式中，U₁和U₂为两个RC回路的电压；U_oc可以由电池SOC确定；I和U_t为电池工作时的电流和电压，可由传感器测得。

1.2　基于实验的参数离线辨识方法

在等效电路中I和U_t可由传感器测得，U_oc是一个关于SOC的函数，需要对剩下的R₀、R₁、R₂、C₁、C₂进行辨识，确定其在电池工作时的值。目前比较常用的离线辨识方法是对电池进行复合脉冲功率性能测试(the hybrid pulse power characterization，HPPC)。

为了验证所提出的SOC估算方法的有效性，本工作采用来自马里兰大学的实验室数据进行仿真。使用的测试设备包括一套控制和记录电池充电和放电过程的Arbin BT200电池测试系统，以及一个控制电池环境温度的热室。本工作以INR18650-20R锂离子电池的测试数据为例来验证SOC估算方法的有效性。电池的规格见表1。

表1 电池规格

Table 1 battery specification

电池参数	规格
类型	LiNMC
额定容量/Ah	2
标称电压/V	3.7
充电截止电压/V	4.2
放电截止电压/V	2.5

新窗口打开| 下载CSV

在实验中对电池进行恒流脉冲放电实验，实验步骤为^[8]：

（1）用恒流恒压的充电方式将电池充满即SOC=100%。

（2）以0.5 C(1 A)对电池进行放电直至电池SOC减少10%。

（3）放电结束后将电池静置2 h。

（4）重复步骤(2)、(3)直到电池SOC=0或者达到放电截止电压时结束实验。

实验结果如图2所示。

图2

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图2 恒流脉冲放电电流电压的变化

Fig. 2 Constant current pulse discharge current voltage change

图3为锂离子电池在一个放电过程中电压电流变化曲线，记脉冲放电开始和结束时刻分别为A点和C点。

图3

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图3 脉冲放电局部放大图

Fig. 3 Partial enlargement of pulse discharge

从图3中可以看出在电池放电过程中有两个比较特殊的阶段，即B-C和D-E两个阶段。产生这两个特殊阶段的主要原因是电池内部存在极化内阻，由于极化内阻的存在导致电压出现“迟滞效应”。在等效电路模型中用两个RC回路来模拟电池的极化内阻，所以可以通过B-C和D-E两个阶段的电压来辨识出等效电路中RC回路中的模型参数。而A-B和C-D两个阶段电池的电压发生突变，这是由电池欧姆内阻R₀造成的，利用这两个阶段可以完成对R₀的辨识^[9]。

由欧姆定律可知：

R_{0} = \frac{(U_{A} - U_{B}) + (U_{D} - U_{C})}{2 I}

(2)

式中，U_A、U_B、U_C、U_D分别为A、B、C、D点的电压；I为放电电流。由上式可以准确辨识出不同SOC时刻下的R₀值。

B-C阶段为放电刚开始时电池电压缓慢下降的过程，此阶段依然有电流流过回路对应的RC回路中的零状态响应阶段：

U_{t} = U_{o c} - I R_{0} - I R_{1} (1 - e x p \frac{- t}{τ_{1}}) - I R_{2} (1 - e x p \frac{- t}{τ_{2}})

(3)

式中，τ₁=R₁C₁，τ₂=R₂C₂分别为两个RC回路的时间常数；U_oc、I、R₀为已知。在通过Matlab中的Cftool拟合工具箱对B-C的电压进行拟合。将R₁、R₂、τ₁、τ₂作为待定系数进行拟合，自定义拟合函数：

f (x) = a - b (1 - e x p \frac{- t}{c}) - d (1 - e x p \frac{- t}{e})

(4)

通过对B-C的电压进行拟合可以得到系数b、d的值，再由欧姆定律便可以求出不同SOC时刻下的R₁、R₂。

D-E阶段为放电结束时电池电压缓慢上升的过程，此阶段没有电流流过回路对应的RC回路中的零输入响应阶段：

U_{t} = U_{o c} - I R_{0} - U_{1} e x p (\frac{- t}{τ_{1}}) - U_{2} e x p (\frac{- t}{τ_{2}})

(5)

式中，U₁、U₂分别为两个回路的电压。对E-D阶段电压进行拟合，自定义拟合函数：

f (x) = a - b e x p (\frac{- t}{c}) - d e x p (\frac{- t}{e})

(6)

这个阶段拟合出系数c和e，再利用公式τ₁=R₁C₁、τ₂=R₂C₂便可以求出不同SOC时刻下的C₁、C₂。

1.3　基于带遗忘因子的递推最小二乘法的参数在线辨识

电池在实际工作时是一个高度非线性的时变系统，而上述的离线参数辨识方法并不能解决电池在工作时参数与实际情况不匹配的问题。为了提高等效电路模型的精度，需要引入在线参数辨识方法来解决电池参数在时刻发生变化的问题。在线辨识是在电池实际工作中通过采集电池的各项数据如电流电压等，再根据等效电路模型解析出各参数的数学关系式，最后根据算法求解出电池在当前时刻各参数的具体数值。在线辨识的最大优点是各参数随电池工作的时间变化而变化，能够真实反映出在不同时刻下电池的参数，能够在一定程度上提高模型的精度。本工作采用带遗忘因子的递推最小二乘法来实现对参数的在线辨识。

递推最小二乘法作为系统识别的典型方法之一，其基本原理就是根据当前时刻的输入值和上一时刻的估计值来进行修正从而获得当前时刻估计值的，递推最小二乘法的迭代公式如下：

\{\begin{array}{l} K (k + 1) = \frac{P (k) φ (k + 1)}{[1 + φ^{T} (k + 1) P (k) φ (k + 1)]} \\ e (k + 1) = y (k + 1) - φ^{T} (k + 1) θ (k) \\ θ (k + 1) = θ (k) + K (k + 1) e (k + 1) \\ P (k + 1) = [I - K (k + 1) φ^{T} (k + 1) P (k)] \end{array}

(7)

式中，K为系统的增益；e为系统的预测误差；y为系统的观测值； φ 为观测向量； P 为误差协方差矩阵； θ 为带辨识参数矩阵；k+1为在k+1时系统的值。

但是随着递推算法的不断进行，算法会出现数据饱和的现象，从而影响算法的估算精度，为了解决这个问题在递推算法中引入了遗忘因子λ，通过λ来调整旧数据在递推过程中的比重，对旧数据采取逐渐遗忘，从而提高估算精度。λ取值范围为0.9～1；带遗忘因子的递推最小二乘法(forgetting factor recursive least square，FFRLS)的迭代公式如下^[10]：

\{\begin{array}{l} K (k + 1) = \frac{P (k) φ (k + 1)}{[λ + φ^{T} (k + 1) P (k) φ (k + 1)]} \\ e (k + 1) = y (k + 1) - φ^{T} (k + 1) θ (k) \\ θ (k + 1) = θ (k) + K (k + 1) e (k + 1) \\ P (k + 1) = \frac{1}{λ} [I - K (k + 1) φ^{T} (k + 1) P (k)] \end{array}

(8)

根据FFRLS算法原理，需要对式(1)进行拉普拉斯变换，可以得到电池在频域下的传递函数：

G (s) = \frac{U_{o c} (s) - U_{t} (s)}{I (s)} = R_{0} + \frac{R_{1}}{1 + R_{1} C_{1} s} + \frac{R_{2}}{1 + R_{2} C_{2} s}

(9)

令：

\{\begin{array}{l} U (s) = U_{o c} (s) - U_{t} (s) \\ τ_{1} = R_{1} C_{1} \\ τ_{2} = R_{2} C_{2} \end{array}

(10)

联立式(9)和式(10)可以得到：

G (s) = \frac{U (s)}{I (s)} = \frac{R_{0} τ_{1} τ_{2} s^{2} + (R_{0} τ_{1} + R_{0} τ_{2} + R_{1} τ_{2} + R_{2} τ_{1}) s + R_{0} + R_{1} + R_{2}}{τ_{1} τ_{2} s^{2} + (τ_{1} + τ_{2}) s + 1}

(11)

令：

\{\begin{array}{l} a = R_{0} \\ b = τ_{1} τ_{2} \\ c = τ_{1} + τ_{2} \\ d = R_{0} + R_{1} + R_{2} \\ e = R_{0} τ_{1} + R_{0} τ_{2} + R_{1} τ_{2} + R_{2} τ_{1} \end{array}

(12)

把式(12)代入式(11)中得到：

G (s) = \frac{U (s)}{I (s)} = \frac{a b s^{2} + e s + d}{b s^{2} + c s + 1}

(13)

为确保系统离散化前后一致，本工作采用Z变换对系统进行离散化：

s = \frac{2}{T} \times \frac{1 - Z^{- 1}}{1 + Z^{- 1}}

(14)

将式(14)代入式(13)中可以得到：

\begin{matrix} G (Z^{- 1}) = \\ \frac{(d T^{2} - 2 T e + 4 a b) Z^{- 2} + (2 d T^{2} - 8 a b) Z^{- 1} + d T^{2} + 2 T e + 4 a b}{(T^{2} - 2 T c + 4 b) Z^{- 2} + (2 T^{2} - 8 b) Z^{- 1} + T^{2} + 2 T c + 4 b} \end{matrix}

(15)

令：

\{\begin{array}{l} k_{1} = - \frac{2 T^{2} - 8 b}{T^{2} + 2 T c + 4 b} \\ k_{2} = - \frac{T^{2} - 2 T c + 4 b}{T^{2} + 2 T c + 4 b} \\ k_{3} = \frac{d T^{2} - 2 T e + 4 a b}{T^{2} + 2 T c + 4 b} \\ k_{4} = \frac{2 d T^{2} - 8 a b}{T^{2} + 2 T c + 4 b} \\ k_{5} = \frac{d T^{2} - 2 T e + 4 a b}{T^{2} + 2 T c + 4 b} \end{array}

(16)

由式(15)和式(16)可得：

G (Z^{- 1}) = \frac{U (Z^{- 1})}{I (Z^{- 1})} = \frac{k_{3} + k_{4} Z^{- 1} + k_{5} Z^{- 2}}{1 - k_{1} Z^{- 1} - k_{2} Z^{- 2}}

(17)

由式(17)可以得到系统的差分方程：

\begin{array}{l} U (t) = k_{1} U (t - 1) + k_{2} U (t - 2) + k_{3} I (t) + k_{4} I (t - 1) \\ + k_{5} I (t - 2) \end{array}

(18)

令：

\{\begin{array}{l} φ (t) = {[U (t - 1), U (t - 2), I (t), I (t - 1), I (t - 2)]}^{T} \\ θ = [k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}, k_{5}] \end{array}

(19)

则：

U (t) = φ^{T} (t) θ

(20)

根据式(16)求a、b、c、d、e的值：

\{\begin{array}{l} a = \frac{k_{4} - k_{3} - k_{5}}{1 + k_{1} - k_{2}} \\ b = \frac{T^{2} (1 + k_{1} - k_{2})}{4 (1 - k_{1} - k_{2})} \\ c = \frac{T (1 + k_{2})}{1 - k_{1} - k_{2}} \\ d = - \frac{k_{3} + k_{4} + k_{5}}{1 - k_{1} - k_{2}} \\ e = \frac{T (k_{5} - k_{3})}{1 - k_{1} - k_{2}} \end{array}

(21)

再根据式(12)和式(21)可以求出R₀、R₁、R₂、C₁、C₂的值：

\{\begin{array}{l} R_{0} = a \\ R_{1} = \frac{τ_{1} (d - a) + a c - e}{τ_{1} - τ_{2}} \\ R_{2} = d - a - R_{1} \\ C_{1} = \frac{τ_{1}}{R_{1}} \\ \begin{array}{l} C_{2} = \frac{τ_{2}}{R_{2}} \\ τ_{1}, τ_{2} = \frac{c \pm \sqrt[]{c^{2} - 4 b}}{2} \end{array} \end{array}

(22)

采用FFRLS算法根据式(22)便可以对系统中的各项参数进行辨识。

1.4　电池SOC估算

本工作采用卡尔曼滤波(Kalman filter，KF)算法来实现电池SOC的估算。但是KF解决的数学模型一般都是线性的，而电池是一个高度非线性的数学模型，为解决非线性模型有人提出了扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter，EKF)算法。其基本思想是对非线性系统的状态方程式进行泰勒级数展开，取一阶或二阶级数进行近似线性化^[11]。对非线性系统有：

\{\begin{array}{l} x_{k} = f (x_{k - 1}, u_{k - 1}) + ω_{k} \\ y_{k} = h (x_{k}, u_{k}) + v_{k} \end{array}

(23)

式中，x、u分别为系统的状态变量和输入量；y为系统的输出量；ω、v分别为系统的过程噪声和观测噪声，都是均值为0且相互独立的高斯白噪声；f(x_k_-1, u_k_-1)和h(x_k_-1, u_k_-1)分别为系统的状态方程和观测方程；k为迭代时刻。

将式(23)进行泰勒级数展开并近似有：

\{\begin{array}{l} x_{k} \approx A {\hat{x}}_{k - 1} + [f ({\hat{x}}_{k - 1}, u_{k - 1}) - A {\hat{x}}_{k - 1}] + ω_{k} \\ y_{k} \approx C {\hat{x}}_{k} + [h ({\hat{x}}_{k}, u_{k}) - C {\hat{x}}_{k}] + v_{k} \end{array}

(24)

式中

A = {\frac{\partial f (x_{k - 1}, u_{k - 1})}{\partial x_{k - 1}}|}_{x_{k - 1} = {\hat{x}}_{k - 1}}

C = {\frac{\partial h (x_{k - 1}, u_{k - 1})}{\partial x_{k - 1}}|}_{x_{k - 1} = {\hat{x}}_{k - 1}}

由式(24)可以得到：

\{\begin{array}{l} x_{k} = A x_{k - 1} + B u_{k - 1} + ω_{k} \\ y_{k} = C x_{k} + D u_{k} + v_{k} \end{array}

(25)

EKF算法的迭代过程如下^[12]：

（1）设置初始值x₀、 P₀；

（2）对状态变量x进行先验估计：

x_{k}^{-} = f ({\hat{x}}_{k - 1}, u_{k - 1})

(26)

（3）对协方差矩阵 P 进行先验估计：

P_{k}^{-} = A_{k - 1} P_{k - 1}^{+} A_{k - 1}^{T} + Q_{k - 1}

(27)

（4）计算卡尔曼增益L_k；

L_{k} = P_{k}^{-} C_{k}^{T} {(C_{k} P_{k}^{-} C_{k}^{T} + R_{k})}^{- 1}

(28)

（5）对状态变量x进行后验估计:

{\hat{x}}_{k}^{+} = {\hat{x}}_{k}^{-} + L_{k} [y_{k} - h ({\hat{x}}_{k}, u_{k})]

(29)

（6）对协方差矩阵 P 进行后验估计：

P_{k}^{+} = (I - L_{k} C_{k}) P_{k}^{-}

(30)

为了实现利用EKF算法对电池SOC进行估算，需要根据等效电路模型数学关系式找出电池系统对应的观测方程、状态方程和输出方程。

把系统的SOC、U₁、U₂作为系统的状态变量可以得到：

(\begin{matrix} S O C^{'} (t) \\ U_{1}^{'} (t) \\ U_{2}^{'} (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{- I (t)}{C_{r e a l}} \\ \frac{- U_{1} (t)}{τ_{1}} + \frac{I (t)}{C_{1}} \\ \frac{- U_{2} (t)}{τ_{2}} + \frac{I (t)}{C_{2}} \end{matrix})

(31)

式中，C_real为电池的容量。

将式(31)作为系统的输出观测方程可以得到：

\begin{matrix} (\begin{matrix} S O C (t) \\ U_{1} (t) \\ U_{2} (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e x p \frac{- Δ t}{τ_{1}} & 0 \\ 0 & 0 & e x p \frac{- Δ t}{τ_{1}} \end{matrix}) (\begin{matrix} S O C (k - 1) \\ U_{1} (k - 1) \\ U_{2} (k - 1) \end{matrix}) \\ + (\begin{matrix} \frac{- Δ t}{C_{r e a l}} \\ R_{1} (1 - e x p \frac{- Δ t}{τ_{1}}) \\ R_{2} (1 - e x p \frac{- Δ t}{τ_{2}}) \end{matrix}) I (k - 1) \end{matrix}

(32)

由式(32)令：

x_{k} = [\begin{matrix} x_{k}^{1} \\ x_{k}^{2} \\ x_{k}^{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} S O C (k - 1) \\ U_{1} (k - 1) \\ U_{2} (k - 1) \end{matrix}]

(33)

u_{k - 1} = I (k)

(34)

A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e x p \frac{- Δ t}{τ_{1}} & 0 \\ 0 & 0 & e x p \frac{- Δ t}{τ_{1}} \end{matrix}]

(35)

B = [\begin{matrix} \frac{- Δ t}{C_{r e a l}} \\ R_{1} (1 - e x p \frac{- Δ t}{τ_{1}}) \\ R_{2} (1 - e x p \frac{- Δ t}{τ_{2}}) \end{matrix}]

(36)

同理，令：

C = [\begin{matrix} \frac{\partial U_{o c} (k)}{\partial S O C} & - 1 & - 1 \end{matrix}]

(37)

D = [- R_{0}]

(38)

在得到电池模型的各参数和状态空间方程后，根据EKF算法步骤，便可以实现对电池SOC的估算。

2 实验结果与分析

2.1　离线参数辨识结果分析

在进行参数辨识前，需要得到电池的开路电压U_oc，U_oc值跟电池SOC值具有很强的函数映射关系，得到准确的U_oc对后续准确估算SOC具有重要意义。

U_oc定义为电池在充放电结束后电池在得到充分静置后电池两端稳定的电压，通过图2所示的实验结果取静置2 h后的实验电压作为电池的U_oc，可以得到在不同SOC时刻下相对应的U_oc，见表2。

表2 不同SOC下的 U_oc

Table 2 U_oc under different SOC

SOC	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
U_oc/V	3.46	3.55	3.59	3.62	3.66	3.75	3.84	3.94	4.05	4.17

新窗口打开| 下载CSV

在得到不同SOC时刻下的U_oc后，利用Matlab中的Cftool拟合工具箱对实验数据进行拟合。拟合公式如下，拟合结果如图4所示。

f (x) = p_{1} x^{7} + p_{2} x^{6} + p_{3} x^{5} + p_{4} x^{4} + p_{5} x^{3} + p_{6} x^{2} + p_{7} x + p_{8}

(39)

式中，f(x)为不同SOC下的U_oc；x为SOC值；p为拟合系数。

图4

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图4 SOC-OCV拟合曲线

Fig. 4 Fit the graph of SOC-OCV

在对U_oc进行拟合后，根据图3利用式(2)、式(3)、式(5)可以完成对模型参数的离线辨识，整个实验的参数辨识结果见表3。

表3 离线参数辨识结果

Table 3 Offline parameter identification results

SOC	R₀/Ω	R₁/Ω	R₂/Ω	C₁/F	C₂/F
0.1	0.2282	0.0142	0.0084	3720.6	16308
0.2	0.2272	0.0147	0.0158	2224.4	18186
0.3	0.2228	0.0159	0.0131	2345.5	23497
0.4	0.2219	0.0130	0.0083	2261.9	36469
0.5	0.2324	0.0126	0.0083	2037.0	42751
0.6	0.2283	0.0133	0.0059	1592.8	54825
0.7	0.2261	0.0163	0.0061	1422.1	27437
0.8	0.2210	0.0178	0.0065	1286.2	46328
0.9	0.2230	0.0132	0.0056	1599.9	57086

新窗口打开| 下载CSV

在完成系统参数辨识以后，为了验证等效电路模型和参数辨识结果的正确性，将辨识好的参数加载到等效电路模型中，对等效电路模型加载实验的工况电流，对比仿真端电压和实验端电压误差，仿真结果如图5所示，仿真误差如图6所示。

图5

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图5 实验端电压与仿真端电压对比

Fig. 5 Contrast diagram of experimental terminal voltage and simulation terminal voltage

图6

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图6 实验端电压与仿真端电压误差曲线

Fig. 6 Experimental terminal voltage and simulation terminal voltage error curve

由仿真结果可知，仿真电压与实验电压的最大误差只有0.0301 V，平均误差仅为0.0037 V，均方根误差(root mean squared error，RMSE)为0.75%，证明本工作所建立的等效电路模型和参数离线辨识结果准确有效。

2.2　参数在线辨识结果与分析

在进行电池模型参数在线辨识时要求电流激励为持续激励，本工作采用FUDS工况对电池进行测试来验证在线参数辨识的可行性。实验数据同样是采用马里兰大学的实验室数据，数据的初始SOC值为80%。将FUDS工况下的电压和电流作为FFRLS算法的输入输出，通过FFRLS算法便能准确辨识出在电池工作时等效电路的各模型的参数。辨识结果如图7～图11所示。

图7

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图7 R₀ 参数辨识结果

Fig. 7 R₀ parameter identification results

图8

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图8 R₁ 参数辨识结果

Fig. 8 R₁ parameter identification results

图9

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图9 R₂ 参数辨识结果

Fig. 9 R₂ parameter identification results

图10

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图10 C₁ 参数辨识结果

Fig. 10 C₁ parameter identification results

图11

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图11 C₂ 参数辨识结果

Fig. 11 C₂ parameter identification results

为了验证在线参数辨识结果的有效性，在等效电路模型中加载FUDS工况的工作电流，将各参数辨识结果输入到模型中，对比仿真端电压和实验端电压误差，仿真结果如图12所示，仿真误差如图13所示。

图12

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图12 FUDS工况下端电压对比曲线

Fig. 12 Terminal voltage comparison curve under FUDS condition

图13

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图13 FUDS工况下端电压误差曲线

Fig. 13 Terminal voltage error curve under FUDS condition

通过实验结果和仿真结果误差对比可知，在刚开始时由于各参数初值设置得不够准确，误差比较大，但是随着算法的进行误差也在逐渐减小，由图11可知在1000 s以后最大电压误差仅为0.1 V，平均误差仅为0.011 V，RMSE为1.8%。通过实验结果与仿真结果的对比分析验证了参数在线辨识的有效性，提高了电池等效电路模型的精度，为后续实现对电池SOC准确估算提供了较大帮助。

2.3　EKF估算SOC结果与分析

为验证EKF算法估算SOC的有效性和不同参数辨识模型的估算精度，同样在FUDS和UDDS工况下进行仿真验证，分别对离线参数辨识模型和在线参数辨识模型加载相同的FUDS和UDDS工况电流来验证SOC估算的准确性，估算结果如图14和图15所示。

图14

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图14 FUDS工况下EKF算法估算SOC结果

Fig. 14 EKF algorithm to estimate SOC result graph under FUDS

图15

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图15 UDDS工况下EKF算法估算SOC结果

Fig. 15 EKF algorithm to estimate SOC result graph under UDDS

实验结果表明，在初始SOC为0.8的FUDS工况下，离线参数辨识模型的SOC估算最大误差为3.8%，平均误差为1.2%，RMSE为2.4%，在线参数辨识模型的SOC估算最大误差为2.4%，平均误差为0.5%，RMSE为1.3%。在初始SOC为0.8的UDDS工况下，离线参数辨识模型的SOC估算最大误差为3.2%，平均误差为1.9%，RMSE为2.1%，在线参数辨识模型下的SOC估算算法稳定后最大误差为2.1%，平均误差为1.0%，RMSE为1.5%。对两个模型分别加载FUDS和UDDS工况运用EKF算法均能实现对SOC的准确估算，但是在电流变化复杂的工况下，在线参数辨识模型能够更好地实现对SOC的估算。

3 结论

本工作建立了二阶RC等效电路模型来模拟电池的电气特性，对等效电路模型实现了准确的离线参数辨识和在线参数辨识，在MATLAB软件中对电池端电压进行仿真，验证了参数辨识的有效性。在完成建模与参数辨识后，运用EKF算法对电池SOC进行估算，仿真结果表明，在环境温度为25 ℃的FUDS和UDDS的工况下SOC估算平均误差均在2.5%以下验证了EKF算法对电池SOC估算的有效性。并且在两个工况下在线参数辨识模型的SOC估算平均误差和RMSE都要比离线参数辨识模型有所降低，表明在线参数辨识方法在复杂的电池工况下对SOC估算更具优势。虽然本工作实现了对电池SOC估算，但是估算过程是在恒温下进行的，并没有考虑到外界温度对SOC估算的影响，同时在运用EKF算法进行估算时，由于EKF算法中的噪声是固定的，忽略了噪声变化带来的估算误差，需要在后续的研究中不断改善。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

黎冲, 王成辉, 王高, 等. 锂电池SOC估计的实现方法分析与性能对比综述[J/OL]. 储能科学与技术, 2022, doi: 10.19799/j.cnki.2095-4239.2022.0078.

[本文引用: 1]

LI C, WANG C H, WANG G, et al. Implementation method analysis and performance comparison of SOC estimation for lithium battery[J/OL]. Energy Storage Science and Technology, 2022, doi: 10.19799/j.cnki.2095-4239.2022.0078.

[本文引用: 1]

[2]

付诗意, 吕桃林, 闵凡奇, 等. 电动汽车用锂离子电池SOC估算方法综述[J]. 储能科学与技术, 2021, 10(3): 1127-1136.

[本文引用: 1]

FU S Y, LÜ T L, MIN F Q, et al. Review of estimation methods on SOC of lithium-ion batteries in electric vehicles[J]. Energy Storage Science and Technology, 2021, 10(3): 1127-1136.

[本文引用: 1]

[3]

刘雨洋, 王顺利, 谢滟馨, 等. 基于在线参数辨识和改进2RC-PNGV模型的锂离子电池建模与SOC估算研究[J]. 储能科学与技术, 2021, 10(6): 2312-2317.

[本文引用: 1]

LIU Y Y, WANG S L, XIE Y X, et al. Research on Li-ion battery modeling and SOC estimation based on online parameter identification and improved 2RC-PNGV model[J]. Energy Storage Science and Technology, 2021, 10(6): 2312-2317.

[本文引用: 1]

[4]

马青云, 王顺利, 余鹏, 等. 基于自适应FFRLS和改进CEKF锂电池SOC的估算[J]. 电源技术, 2022, 46(4): 395-399.

[本文引用: 1]

MA Q Y, WANG S L, YU P, et al. Estimation of lithium battery SOC based on adaptive FFRLS and improved CEKF[J]. Chinese Journal of Power Sources, 2022, 46(4): 395-399.

[本文引用: 1]

[5]

ZHANG Z Y, JIANG L, ZHANG L Z, et al. State-of-charge estimation of lithium-ion battery pack by using an adaptive extended Kalman filter for electric vehicles[J]. Journal of Energy Storage, 2021, 37: doi: 10.1016/j.est.2021.102457.

[本文引用: 1]

[6]

SHRIVASTAVA P, SOON T K, IDRIS M Y I B, et al. Overview of model-based online state-of-charge estimation using Kalman filter family for lithium-ion batteries[J]. Renewable and Sustainable Energy Reviews, 2019, 113: doi: 10.1016/j.rser.2019.06.040.

[本文引用: 1]

[7]

LI N, ZHANG Y, HE F X, et al. Review of lithium-ion battery state of charge estimation[J]. Global Energy Interconnection, 2021, 4(6): 619-630.

[本文引用: 1]

[8]

SUN C C, LIN H P, CAI H, et al. Improved parameter identification and state-of-charge estimation for lithium-ion battery with fixed memory recursive least squares and sigma-point Kalman filter[J]. Electrochimica Acta, 2021, 387: doi: 10.1016/j.electacta.2021.138501.

[本文引用: 1]

[9]

胡文. 基于温度影响的锂离子电池建模及EKF算法下的荷电状态估算研究[D]. 徐州: 中国矿业大学, 2020.HU W. Study on modeling of lithium-ion battery based on temperature effect and SOC estimation based on EKF algorithm[D]. Xuzhou: China University of Mining and Technology, 2020.

[本文引用: 1]

[10]

田茂飞, 安治国, 陈星, 等. 基于在线参数辨识和AEKF的锂电池SOC估计[J]. 储能科学与技术, 2019, 8(4): 745-750.

[本文引用: 1]

TIAN M F, AN Z G, CHEN X, et al. SOC estimation of lithium battery based online parameter identification and AEKF[J]. Energy Storage Science and Technology, 2019, 8(4): 745-750.

[本文引用: 1]

[11]

高文哲, 黄涛. 基于扩展卡尔曼滤波模型的电动汽车锂电池SOC估算研究[J]. 通信电源技术, 2020, 37(1): 44-45, 47.

[本文引用: 1]

GAO W Z, HUANG T. SOC estimation of lithium battery in electric vehicle based on extended Kalman filter model[J]. Telecom Power Technology, 2020, 37(1): 44-45, 47.

[本文引用: 1]

[12]

王志福, 刘兆健, 李仁杰. 基于BCRLS-AEKF的锂离子电池荷电状态估计及硬件在环验证[J]. 北京理工大学学报, 2020, 40(3): 275-281.

[本文引用: 1]

WANG Z F, LIU Z J, LI R J. State of charge estimation and hardware-in-loop verification of lithium-ion battery based on BCRLS-AEKF[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology, 2020, 40(3): 275-281.

[本文引用: 1]

... 为了提高对电池SOC的估算精度，国内外学者进行了大量的研究.在估算方法方面，既有传统的安时积分法和开路电压法，又有基于模型的估算方法和基于机器学习等估算方法.安时积分法和开路电压法由于受到传感器测量误差和电池静置问题的限制很难单独应用于电池SOC的估算，而基于机器学习的估算方法需要对电池进行大量的实验和对数据进行训练，工作量比较巨大^[1].基于电池模型的估算方法能够克服传统方法和机器学习方法的一些局限性，成为了目前最为普遍的电池SOC估算方法.目前，电化学模型和等效电路模型是最常见的电池建模方法，其中电化学模型中涉及大量电池内部化学反应，整个建模过程中存在着许多复杂的方程式且要求专业的化学知识，对建模者要求较高，而等效电路模型则是利用简单的电路元件的组合来描述电池工作时的电压电流变化关系，模型中具有清晰简单的函数关系式，是大部分学者都选择的建模方式^[2].参数辨识也是电池SOC估算中的重要环节，在完成电池等效模型建立后，需要对模型中的各参数进行辨识确定其参数值，参数辨识方法主要有基于脉冲放电实验下的离线参数辨识，但是离线参数辨识的模型参数是固定的，在一些复杂的电池工况下，离线辨识得到的参数值不能准确反映电池当前工作下的电池变化情况，所以有学者提出了在线参数辨识方法.递推最小二乘法是常用的在线参数辨识方法，但是随着递推的进行会因数据饱和的现象造成辨识出现误差，于是文献[3]通过带遗忘因子的最小二乘法对模型进行在线参数辨识来解决数据饱和等问题，文献[4]利用自适应遗忘因子来解决在递推过程中遗忘因子固定不变的问题能更好地达到辨识效果. ...

... 在估算算法方面经常利用卡尔曼滤波(Kalman filter，KF)算法来实现对电池SOC的估算，但是传统的KF算法解决的是一般的线性问题，而电池在工作时是一个高度的非线性系统，为此有学者在KF的算法基础上提出采用扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter，EKF)算法来处理非线性的电池系统，通过对函数进行泰勒级数展开，取其一次项来近似非线性系统，该方法的缺点是在处理较强的非线性系统时存在着较大的系统误差，且系统噪声被假定为相互独立的高斯白噪声.EKF中固定的过程噪声和测量噪声会降低系统的估算精度，针对这个问题文献[5]中提出了新的自适应卡尔曼滤波(adaptive extended Kalman filter，AEKF)算法，将自适应更新协方差矩阵的特性添加到EKF中，让系统的噪声特性能根据估计结果而自适应更新从而提高SOC的估算精度.此外，为了进一步解决系统的非线性所带来的误差问题，文献[6]在EKF算法的基础上提出了sigma-point卡尔曼滤波(sigma-point Kalman filter，SPKF)方法来估计非线性系统的状态. ...

... 目前，比较主流的电池模型有电化学模型、等效电路模型和黑盒模型等，本工作采用的是等效电路模型.等效电路模型利用电器元件组成的回路来模拟电池工作时的电流与电压变化，其简单的函数关系式和明显的电气特性受到广大学者的关注.其中包含了Rint模型、PNGV模型、GNL模型和RC回路模型等^[7]，每个模型都有自己的优缺点.本工作采用了拥有两个RC回路和一个欧姆内阻的二阶RC模型来模拟电池的动态变化特性，原理如图1所示.两个RC回路分别表示了电池的电化学极化和浓度差极化，欧姆内阻表示了电池的内阻特性，该模型相较于其他模型具有更高的模拟精度，参数辨识也较其他模型更为方便准确. ...

... 在实验中对电池进行恒流脉冲放电实验，实验步骤为^[8]： ...

... 从图3中可以看出在电池放电过程中有两个比较特殊的阶段，即B-C和D-E两个阶段.产生这两个特殊阶段的主要原因是电池内部存在极化内阻，由于极化内阻的存在导致电压出现“迟滞效应”.在等效电路模型中用两个RC回路来模拟电池的极化内阻，所以可以通过B-C和D-E两个阶段的电压来辨识出等效电路中RC回路中的模型参数.而A-B和C-D两个阶段电池的电压发生突变，这是由电池欧姆内阻R₀造成的，利用这两个阶段可以完成对R₀的辨识^[9]. ...

... 但是随着递推算法的不断进行，算法会出现数据饱和的现象，从而影响算法的估算精度，为了解决这个问题在递推算法中引入了遗忘因子λ，通过λ来调整旧数据在递推过程中的比重，对旧数据采取逐渐遗忘，从而提高估算精度.λ取值范围为0.9～1；带遗忘因子的递推最小二乘法(forgetting factor recursive least square，FFRLS)的迭代公式如下^[10]： ...

... 本工作采用卡尔曼滤波(Kalman filter，KF)算法来实现电池SOC的估算.但是KF解决的数学模型一般都是线性的，而电池是一个高度非线性的数学模型，为解决非线性模型有人提出了扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter，EKF)算法.其基本思想是对非线性系统的状态方程式进行泰勒级数展开，取一阶或二阶级数进行近似线性化^[11].对非线性系统有： ...

... EKF算法的迭代过程如下^[12]： ...

〈

〉