基于数字孪生的锂电池热电耦合模型构建与仿真分析

图1 基于数字孪生的锂电池热电耦合模型构建原理

Fig. 1 Construction principle of thermoelectric coupling model of lithium battery based on digital twin

2 锂电池热电耦合模型构建

2.1　等效电路模型

等效电路模型是以具体的电路形式表示锂电池，各个电路元件有具体的表示含义，通过实验对元件参数进行辨识，进而对电池输出电压进行预测。目前常见的等效电路模型有Thevenin(一阶RC电路模型)和二阶RC模型等，考虑到二阶RC模型对于电池动态特性的描述具有较高的准确性，本文选择二阶RC模型进行研究，其等效电路模型如图2所示^[18]。

图2

图2 二阶RC等效电路模型

Fig. 2 Second-Order RC equivalent circuit model

图2中 $E$ 表示端电压； $R_{o}$ 表示欧姆内阻； $R_{e} 、$ $R_{d}$ 表示极化内阻； $C_{e} 、 C_{d}$ 表示极化电容； $I$ 表示流经电池组的电流； $I_{e} 、 I_{d} 、 I_{e c} 、 I_{d c}$ 分别表示流经极化内阻和极化电容的电流； $U_{o}$ 表示电池端电压。

根据图2所示的电池等效模型，结合基尔霍夫定律和基本电路原理可得到电池各状态参数之间的关系为

\{\begin{array}{l} S O C = S O C_{0} - \frac{1}{C_{N}} \int η_{i} (t) Δ t d t \\ \frac{\int I_{e} d t}{C_{e}} = I_{e} R_{e} = U_{e} \\ \frac{\int I_{d} d t}{C_{d}} = I_{d} R_{d} = U_{d} \\ U_{o} = E - I R_{o} - U_{e} - U_{d} \end{array}

(1)

式中： $S O C$ 表示电池荷电状态； $S O C_{0}$ 表示初始荷电状态； $C_{N}$ 表示电池额定容量； $η_{i}$ 表示库仑效率； $U_{e} 、 U_{d}$ 分别表示极化内阻 $R_{e} 、 R_{d}$ 上的电压； $Δ t$ 表示采样周期。

对式(1)离散化得到等效电路模型状态方程式(2)。

[\begin{array}{l} S O C_{k + 1} \\ U_{e, k + 1} \\ U_{d, k + 1} \end{array}] = [\begin{array}{l} 1 0 0 \\ 0 e^{- \frac{Δ t}{τ_{e}}} 0 \\ 0 0 e^{- \frac{Δ t}{τ_{d}}} \end{array}] [\begin{array}{l} S O C_{k} \\ U_{e, k} \\ U_{d, k} \end{array}] + [\begin{array}{l} - \frac{η Δ t}{C} \\ R_{e} (1 - e^{- \frac{Δ t}{τ_{e}}}) \\ R_{d} (1 - e^{- \frac{Δ t}{τ_{d}}}) \end{array}] I_{k}

(2)

式中： $k$ 表示离散计算次数； $τ_{e} 、 τ_{d}$ 表示时间常数， $τ_{e} = R_{e} C_{e}$ ， $τ_{d} = R_{d} C_{d}$ 。

进而可得等效电路模型的输出方程式(3)。

U_{o, k} = E - I_{k} R_{o} - U_{e, k} - U_{d, k}

(3)

2.2　热力学模型

锂电池工作过程中会产生和传递热量，温度不断变化。电池生热、散热是一个有时变内热源非稳态传热过程，基于能量守恒方程可描述为

ρ_{i} C_{i} \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (λ_{i} \nabla T) + q

(4)

式中：等式左侧表示单体电池增加的热量，等式右侧第一项为电池与外界环境热对流使电池单元体增加的热量，等式右侧第二项为电池内部的生热速率。 $ρ_{i}$ 表示电池单体的密度； $C_{i}$ 表示比热容； $T$ 表示电池温度； $λ_{i}$ 表示在某方向上的导热系数； $q$ 表示生热速率； $i$ 表示单体电池编号。

将式(4)写为直角坐标形式：

ρ_{i} C_{i} \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} (λ_{x, i} \frac{\partial T}{\partial x}) + \frac{\partial}{\partial y} (λ_{y, i} \frac{\partial T}{\partial y}) + \frac{\partial}{\partial z} (λ_{z, i} \frac{\partial T}{\partial z}) + q

(5)

式中： $λ_{x, i} 、 λ_{y, i} 、 λ_{z, i}$ 分别表示在 $x 、 y 、 z$ 方向的导热系数。

电池生热速率一般采用Bernardi生热模型来计算^[19]，计算公式(6)为：

q = I (E - U_{o}) + I T \frac{\partial E}{\partial T}

(6)

式中： $I (E - U_{o})$ 表示焦耳热功率； $I T \frac{\partial E}{\partial T}$ 表示可逆反应热功率。

2.3　热电耦合模型

考虑到锂电池复杂的多物理场特性，等效电路模型参数是温度的函数，且电池产热速率取决于每一时刻电池的SOC、温度、充放电模式等，等效电路模型和热模型两者相互耦合。因此，构建热电耦合框架如图3所示。

图3

图3 热电耦合框架

Fig. 3 Thermoelectric coupling frame

虽然传统的CFD仿真软件具有计算精度高、三维可视化等优点，但是计算耗时较长。对于瞬态热分析，尤其是分析很多种瞬态工况，需要多次重复运行模型。因此寻找兼具计算精度高、计算耗时短的仿真工具尤为重要。本文利用ANSYS Twinbuider平台LTI ROM降阶模型实现热力学模型降阶，进而构建锂电池热电耦合数字孪生模型，实现对锂电池运行状态的精确刻画。结果和CFD仿真具有同样的精度，计算时间降低至秒级，大幅提升仿真效率。

3 参数辨识

首先，基于最小二乘算法对等效电路模型参数进行了离线辨识；其次，考虑老化、温度等因素影响，基于递推最小二乘算法完成等效电路模型参数在线辨识，实现数字孪生虚拟模型和物理实体之间的交互反馈；最后基于热力学模型原理，实现热力学模型参数辨识。

等效电路模型中需要辨识的参数包括开路电压、SOC、电阻、电容，采用混合脉冲功率特性实验(HPPC)进行参数识别。通过最小二乘法拟合得到等效电路模型参数 $R_{o}$ 、 $R_{e} 、 R_{d}$ 、 $C_{e} 、 C_{d}$ ，实现对参数的离线辨识。

离线辨识采用的最小二乘算法可以一次性求出所有参数的估计值，估计精度高，但是算法中涉及矩阵求逆运算，在电池运行过程中，每得到一组新的测量数据需要重新计算，对处理器要求较高。本文采用递推最小二乘算法^[20]，实现等效电路模型参数的在线辨识。算法原理可以描述为

\{\begin{array}{l} θ (k) = θ (k - 1) + K (k) [y (k) - ψ^{T} (k) θ (k - 1)] \\ K (k) = P (k - 1) ψ (k) [ψ^{T} (k) P (k - 1) ψ {(k) + 1]}^{- 1} \\ P (k) = [I - K (k) ψ^{T} (k)] P (k - 1) \end{array}

(7)

式中： $θ (k)$ 表示参数估计值； $y (k)$ 表示实际观测值； $ψ (k)$ 表示输入与输出矩阵； $ψ^{T} (k)$ 表示输入与输出矩阵转置； $ψ^{T} (k) θ (k - 1)$ 表示预测值； $y (k) - ψ^{T} (k) θ (k - 1)$ 表示预测误差； $K (k)$ 表示增益因子，增益因子与预测误差相乘即可得到修正项，由修正项与 $θ (k - 1)$ 相加得到参数估计值； $P (k)$ 表示协方差矩阵。

将上述递推最小二乘算法原理应用于锂电池等效电路模型中，输入为电流 $I$ ，令 $y = E - U_{o}$ 为输出，由基尔霍夫定律和拉普拉斯变换得到等效电路模型的频域表达式为

y (s) = I (s) (R_{o} + \frac{R_{e}}{1 + R_{e} C_{e} s} + \frac{R_{d}}{1 + R_{d} C_{d} s})

(8)

进而可以得到模型的传递函数，对传递函数通分、双线性变换离散化后得到的差分方程为

\begin{matrix} y (k) = - α_{1} y (k - 1) - α_{2} y (k - 2) + \\ β_{0} I (k) + β_{1} I (k - 1) + β_{2} I (k - 2) \end{matrix}

(9)

表达式中的系数 $α_{1} 、 α_{2} 、 β_{0} 、 β_{1} 、 β_{2}$ 通过递推最小二乘算法求出，进而可以通过求解方程组得到等效电路模型参数。当第 $k + 1$ 时刻获得一组新数据 ${y (k + 1), I (k + 1)}$ ，按上述分析可得到 $k + 1$ 时刻新的模型参数，每获得一组新数据，进行一次递推，实现电池模型参数的在线估计，具体实现流程如图4所示。该方法充分利用了物理实体、传感器以及运行数据之间的交互仿真^[14]，实现数字虚拟空间与实际物理装备之间高保真虚实映射。

图4

图4 参数辨识实现流程

Fig. 4 Parameter identification implementation process

根据式(5)，确定 $ρ 、 C_{p} 、 λ_{x} 、 λ_{y} 、 λ_{z} 、 q$ 等参数大小，即可实现参数辨识，得到电池随着运行时间温度的变化和各个位置的温度变化。

4 算例分析

本文以某商用锂电池为研究对象进行实验验证，基本参数值如表1所示。

表1 锂电池基本参数值

Table 1 Basic parameter value of lithium battery

参数名称	规格
电池体系	磷酸铁锂电池
容量	2 Ah
标称电压	3.20 V
充电截止电压	3.65 V
放电截止电压	2.50 V

电池包由32块单体电池四并八串组成，额定容量为64 Ah。实验室环境温度为20 ℃，在电池中部及两端加装热电偶，并通过线路连接到多路温度记录仪实时记录试验过程中锂电池温度变化，将连接好的电池固定，完成实验平台的搭建。

为简化电池模型，做出如下假设：

（1）电池内部材料各向同性；

（2）构成材料的密度、比热容不受外界环境的影响保持不变；

（3）导热系数在各个方向各处均保持不变；

（4）电池工作时内部电流密度处处相等；

（5）电池内部只考虑热传导传热。

基于热力学模型参数辨识原理，考虑影响电池温度分布的关键因素，将锂电池简化为由正极材料、负极材料、隔膜、电解液、外壳、正极耳和负极耳等部分组成，经过查找电池说明书和相关文献，得到其热力学参数如表2所示。

表2 锂电池热力学参数

Table 2 Lithium battery thermodynamic parameters

参数名称	密度/( $k g / m^{3}$ )	导热系数/[ $W / (m \cdot K)$ ]
正极材料	2840	3.9
负极材料	1617	3.3
隔膜	658	0.4
外壳	7817	14.4
正极耳	2700	240
负极耳	8933	387.6

计算得到材料的平均密度 $ρ$ 为 $2179 k g / m^{3}$ ，电池内部的平均比热容1000 J/(kg·K)，电池沿着各个方向的导热系数为 $λ_{x}$ =30 W/(m·K)、 $λ_{y}$ =30 W/(m·K)、 $λ_{z} = 30 W / (m \cdot K)$ 。

在Simulink中构建锂电池等效电路模型，利用CFD热分析仿真软件 ANSYS Icepak 构建电池热力学模型。进而利用ANSYS TwinBuilder平台实现热力学模型和等效电路模型之间的耦合，构建锂电池热电耦合模型，实现多物理域的联合仿真如图5所示。

图5

图5 锂电池热电耦合模型

Fig. 5 Lithium battery thermoelectric coupling model

为了验证构建模型的有效性，本文从多维度进行了仿真分析，与实验结果对比确定仿真的精确程度和计算效率。

4.1　有无降阶模型

将电池置于20 ℃环境下进行放电实验，设置放电倍率为1 C。表3为无降阶模型CFD仿真时间和降阶模型下的仿真时间，从表中可以看出，基于ANSYS Twinbuider平台LTI ROM降阶模型对热力学模型降阶处理后，实现电池单体仿真时间减少至小于1 s，电池包仿真时间减少近2 min，将仿真时间从分钟级降低至秒级，具有CFD仿真精度的同时实现仿真效率的提升，为锂电池CFD仿真提供了一种有效的方法。

表3 仿真时间对比

Table 3 Simulation time comparison

仿真模型	CFD仿真时间	降阶模型仿真时间
电池单体	55 s	0.012 s
电池包	3 min 17 s	49 s

4.2　有无热电耦合对比

将模型设置为温度开环，即锂电池工作过程中不考虑温度变化对等效电路模型参数变化的影响，以此来验证热电耦合模型的准确性。将电池置于20 ℃环境下进行放电实验，设置放电倍率为1 C，从图6可以看出，在仿真初期由于电池温度变化不明显，两种仿真结果相似。但随着仿真时间变长，电池温度发生较大的变化，不考虑热电耦合，电池温度误差越来越大，温度最大偏差达到0.7，热电耦合模型有利于准确估计电池温度，减缓锂电池老化，减小安全事故发生的概率。

图6

图6 有无热电耦合结果对比图

Fig. 6 Comparison of results with and without thermoelectric coupling

4.3　20 ℃不同充放电倍率验证

将电池置于20 ℃环境下进行放电实验，从图7温度对比结果可知，电池放电过程温度处于上升状态，1 C、2 C、3 C、4 C放电倍率下均在初期温度上升较快，后期相对平缓。随着放电倍率的提高，电池稳态温度也提升。与实验结果对比可知，温度误差均在1 ℃，验证了模型的精度。

图7

图7 有无热电耦合结果对比图

Fig. 7 Comparison of results with and without thermoelectric coupling

4.4　考虑老化情况下锂电池等效电路模型参数变化情况

在环境温度为20 ℃、1 C充放电循环下，设置电池循环SOC区间为10%～90%，锂电池进行100次循环。采用递推最小二乘算法在线辨识等效电路模型参数变化情况如表4所示，从表中可以得出，欧姆内阻和极化内阻均有增大，极化电容保持不变，因此考虑锂电池老化对锂电池等效电路模型参数变化的影响，更新等效电路模型参数，有利于提高模型仿真精度，实现对锂离子电池精确刻画。

表4 等效电路模型参数在线辨识变化情况

Table 4 Online identification changes of equivalent circuit model parameters

等效电路模型参数	变化情况
$R_{o}$	增加0.015 Ω
$R_{e}$	增加0.001 Ω
$R_{d}$	增加0.0015 Ω
$C_{e}$	0
$C_{d}$	0

4.5　不同温度下4 C放电倍率验证

为验证不同温度下所建立的锂电池热电耦合数字孪生模型的精度，将电池分别置于20 ℃、30 ℃、40 ℃环境下进行充放电实验，本文以放电实验为例，同时为了缩短实验时间，设置放电倍率为4 C。从图8可以看出，放电初期由于锂电池投入运行初期较不稳定，与放电末期相比温度仿真结果与实验结果误差较大。20 ℃下锂电池温度仿真结果与实验结果误差与30 ℃、40 ℃下相比，锂电池温度仿真结果与实验结果误差较大，但是温度误差也均在1 ℃范围内，验证了模型的精度。

图8

图8 20 ℃、30 ℃、40 ℃下4 C放电实验与仿真结果对比图

Fig. 8 Comparison results of 4 C discharge experiment and simulation at 20 ℃, 30 ℃ and 40 ℃

5 结论

本文提出了基于数字孪生的锂电池热电耦合模型构建方法，通过算例仿真分析，验证了模型的有效性。主要结论有：

（1）提出了数字孪生结构体系，考虑锂电池等效电路模型和热力学模型之间的耦合，建立了锂电池热电耦合数字孪生模型，实现对实体电池运行状态更准确地刻画，从而减小锂电池事故发生的概率，减缓电池老化；

（2）基于ANSYS TwinBuilder对热力学模型降阶处理，利用LTI ROM降阶模型在保证仿真精度的同时减小仿真时间，为锂电池CFD仿真、设计与优化管理提供了一种有效的方法；

（3）考虑老化、温度等对电池运行过程影响，采用递推最小二乘算法实现模型参数的在线辨识，实现物理模型和虚拟实体之间的交互反馈，提高孪生模型的实时映射能力。

本文目前基于数字孪生对锂电池单体和电池包进行了热电耦合模型构建与仿真分析，下一步将考虑储能电站内部空调、PCS等元件位置和发热对大规模储能电站进行热电耦合模型构建与仿真分析。

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