适应高电流倍率工况的锂离子电池等效电路模型

图1 电池Thevenin模型

Fig. 1 Battery Thevenin model

由图1可得电池Thevenin模型的端电压表达式为

\{\begin{array}{l} C_{1} \frac{d U_{p}}{d t} + \frac{U_{p}}{R_{1}} = I \\ U = U_{o c} (S O C) - I R_{0} - U_{p} \end{array}

(1)

若电容无初始状态，则电池端电压可表示为

U = U_{o c} (S O C) - I R_{0} - I R_{1} (1 - e^{- \frac{t}{R_{1} C_{1}}})

(2)

其中，U_oc(SOC)为电池开路电压U_oc与SOC的函数关系。

1.2　峰值电流下的阻抗分析

1.2.1　峰值电流测试

根据电池峰值功率测试手册^[18]，将电池以恒定电流放电18 s，能使电池电压在放电结束时刚好达到截止电压的电流认定为此状态(SOC、温度)下的峰值电流。恒流测试的电流和电压响应示意图如图2所示。

图2

图2 恒流测试的电流和电压响应示意图

Fig. 2 Schematic diagram of current and voltage response for t₁(s) peak current test

给电池施加一个t₁(s)的恒定脉冲电流，在该电流激励下电压会逐渐降低，当脉冲电流结束时电压刚好降低至电池的下限截止电压，则此脉冲电流即为电池在该状态下的峰值电流。在求得峰值电流后，可以利用峰值电流计算电池的峰值功率。

1.2.2　峰值电流下的阻抗特性分析

实际上，在实验中峰值电流的响应电压与图2中的曲线形状不同。以50%SOC时的实验数据为例，电池峰值电流和响应电压如图3所示。

图3

图3 实验峰值电流下的电压响应

Fig. 3 Voltage response to experimental peak current

图3中传统U_RC为RC结构模型得到的端电压，U为电池实际端电压，U_dif为高电流倍率导致的电压差异，Z_RC为传统RC结构模型的等效阻抗，其表达式为

U_{R C} = U_{o c} - I Z_{R C}

(3)

U_{R C} = U + U_{d i f}

(4)

从图3可以看出，在实验中峰值电流激励下的电池端电压波形会出现电压下降速率增大的现象，电压曲线如图3中蓝色曲线所示，红色虚线代表的则是传统RC模型求得的电压曲线。导致二者差异的原因在文献[19]中提出，是高电流倍率下导致的颗粒表面SOC和平均SOC之间的差异，从而导致开路电压迅速降低，表现为端电压的加速下降。

为分析峰值电流下(高电流倍率)电池的电压变换特性，从ECM的阻抗出发进行分析，根据式(2)～式(4)可以得到传统RC模型的等效阻抗为

Z_{R C} = (R_{0} + R_{1}) - R_{1} e^{- t / R_{1} C_{1}} + \frac{Δ U_{o c}}{I}

(5)

其中

Δ U_{o c} = U_{o c} (Δ S O C)

(6)

根据实验数据得到实际的阻抗为

Z = \frac{U_{o c} - U + Δ U_{o c}}{I} = \frac{U_{o c} - U_{R C} + Δ U_{o c} + U_{d i f}}{I}

(7)

由式(5)和式(7)可得

Z_{d i f} = Z - Z_{R C} = \frac{U_{d i f}}{I}

(8)

1.3　改进模型与参数辨识

由上述分析可知，传统RC模型的阻抗特性是斜率变小的上升曲线，而高电流倍率下的阻抗特性在后期呈现为斜率变大的上升曲线，这一现象可根据电池固相扩散反应解释。并且在文献[19]的基础上文献[17]分析指出，高倍率电流加剧的固相扩散所导致的电池表面SOC与平均SOC差值按照指数规律增加，则表面SOC与平均SOC差值d_soc可表示为

d_{s o c} = e^{b t}

(9)

U_oc与SOC的关系可以用多项式表示为

U_{o c} (S O C) = a_{0} + a_{1} S O C + a_{2} S O C^{2} + a_{3} S O C^{3} + \dots

(10)

其中，a₀、a₁、a₂、a₃为多项式的系数。由于在脉冲电流作用下，SOC变化较小，并且a₂、a₃等系数较小，近似可认为在脉冲周期内，U_oc与SOC成线性关系，其表达式为

U_{o c} (S O C) = a_{0} + a_{1} S O C

(11)

则考虑固相扩散反应后开路电压的表达式为

\begin{array}{l} U_{o c} (S O C + d_{s o c}) = U_{o c} (S O C) + U_{o c} (d_{s o c}) \\ = a_{0} + a_{1} S O C + a_{1} e^{b t} \end{array}

(12)

其中，U_oc(d_soc)也是1.2.2节分析中引起电压差异的原因，有U_oc(d_soc)=U_dif。

所以，为了弥补固相扩散反应导致的阻抗增长现象，本工作在传统RC模型中引入一组含有负电阻的RC结构。需要注意的是，含有负电阻的RC环节能够表现出斜率增大的阻抗特性，但这并不意味着出现了负电阻这一元件，其可以通过电路元件的组合等效变换得到。该模型改进方法简单，不需要分析复杂的内部粒子现象，并且增加的模型参数易于辨识。

所提改进ECM结构及不同部分表征的电压如图4所示，图中U₁为传统RC环节上的电压，U₂代表用于弥补传统RC环节缺陷所加入的负电阻电容环节上的电压，其值与上文提到的U_oc(d_soc)和U_dif相等。由图4可知，在脉冲响应初期电池电压主要受U₁的影响，而随着时间的变化U₁逐渐接近于常数，此时U₂的作用更加显著。

图4

图4 改进ECM结构及各元件电压示意图

Fig. 4 Schematic diagram of the improved model structure and voltages of the components

根据文献[20]中的方法，对高电流倍率下的响应电压进行分解，其可根据图5所示的峰值电流作用期间电压响应不同阶段特性进行分析。

图5

图5 峰值电流作用期间的电压响应不同阶段示意图

Fig. 5 Schematic diagram of different phases of voltage response during peak current action

图5中：

（1）t₀代表脉冲刚加入的时间，t₀～t₁₁阶段的电压主要由欧姆电阻决定，即

R_{0} = \frac{U (t_{11}) - U (t_{0})}{I}

(13)

（2）t₁₁代表着传统RC环节响应的开始时刻，t₀≈t₁₁；

（3）t₁₂代表传统RC环节响应的结束时刻与负电阻电容环节响应的开始时刻，实际上t₁₂<t₂₁，但由于传统RC环节响应后期与负电阻电容环节响应前期电压的变化缓慢，为简化模型辨识难度，本文考虑t₁₂=t₂₁；

（4）t₂₂代表负电阻电容环节响应的结束时刻，同时也是整个脉冲的结束时刻。

由图5可见，峰值电流作用下电压主要存在两个特性差异较大的阶段，即传统RC环节响应阶段和负电阻电容环节响应阶段，二者分别为下降速率减小和下降速率增加的曲线，因此，可考虑以拐点为界对这两个阶段的电压分别进行分析以提升准确度。为分解响应电压，首先根据前文所描述的传统RC环节与负电阻电容的电压特性，将二者的分界点t₁₂设置为波形的拐点，其数学定义为

\frac{d^{2} U (t_{12})}{d t^{2}} = 0

(14)

根据式(14)可确定电压波形的拐点。由于U₁的时间常数小，且趋于稳定，因此设当t>t₁₂时，U₁=IR₁，所以在拐点之后波形的主要部分为U₂和已经趋于稳定的U₁。此时根据1.1节中传统RC结构的分析有

U_{p} (t) = U_{1} (t) + U_{2} (t) = U_{o c} (S O C, t) - I R_{0} - U (t)

(15)

U_{1} (t) = U_{1} (\infty) [1 - e^{- (t - t_{11}) / τ_{1}}] = I R_{1} [1 - e^{- (t - t_{11}) / τ_{1}}], t > t_{11}

(16)

\begin{array}{l} U_{2} (t) = U_{p} (t) - U_{1} (\infty) = U_{2} (\infty) [1 - e^{- (t - t_{21}) / τ_{2}}] \\ = I R_{2} (1 - e^{- (t - t_{21}) / τ_{2}}), t > t_{21} \end{array}

(17)

其中，U_p(t)表示传统RC环节和负电阻电容环节上总的极化电压，在初始时刻(t=t₀=0)有

{\hat{U}}_{2} = I R_{2} (1 - e^{- t / {\hat{τ}}_{2}}), t > 0

(18)

其中，“^”代表估计值。

对式(18)求导有

\frac{d {\hat{U}}_{2} (t)}{d t} = \frac{d {\hat{U}}_{p} (t)}{d t} = \frac{I R_{2}}{{\hat{τ}}_{2}} e^{- t / {\hat{τ}}_{2}}, t > 0

(19)

其中， ${\hat{τ}}_{2}$ 为负电阻电容环节的时间常数。

根据式(19)，利用t₂₁和t₂₂时刻的电压一阶导数可得

{\hat{τ}}_{2} = \frac{t_{21} - t_{22}}{l n [\frac{d {\hat{U}}_{2} (t_{22})}{d t} / \frac{d {\hat{U}}_{2} (t_{21})}{d t}]}

(20)

对t₁₂和t₂₂时刻的U_p(t)进行分析有

\{\begin{array}{l} U_{p} (t_{12}) = U_{1} (t_{12}) + U_{2} (t_{12}) \\ U_{p} (t_{22}) = U_{1} (t_{22}) + U_{2} (t_{22}) \end{array}

(21)

由于t₁₂时刻后U₁近似为常数，简化式(21)得

\{\begin{array}{l} U_{p} (t_{12}) = I R_{1} + I R_{2} (1 - e^{- t_{12} / {\hat{τ}}_{2}}) \\ U_{p} (t_{22}) = I R_{1} + I R_{2} (1 - e^{- t_{22} / {\hat{τ}}_{2}}) \end{array}

(22)

求解式(22)即可得到R₁和R₂。根据前述公式可求出 ${\hat{U}}_{2} (t)$ ，则 ${\hat{U}}_{1} (t)$ 在整个脉冲周期的表达式为

{\hat{U}}_{1} (t) = U_{p} (t) - {\hat{U}}_{2} (t) = I R_{1} (1 - e^{- t / {\hat{τ}}_{2}}), t > 0

(23)

由于传统RC环节的时间常数 ${\hat{τ}}_{1}$ 非常小，选取一个较小的时刻t_x 用于求解，即

{\hat{τ}}_{1} = \frac{- t_{x}}{l n [1 - \frac{U_{p} (t_{x}) - {\hat{U}}_{2} (t_{x})}{I R_{1}}]}

(24)

经过上述分析求得 ${\hat{τ}}_{1}$ 和 ${\hat{τ}}_{2}$ 后，可求得等效电容为

\{\begin{array}{l} C_{1} = {\hat{τ}}_{1} / R_{1} \\ C_{2} = {\hat{τ}}_{2} / R_{2} \end{array}

(25)

最终即完成所有参数(R₀、R₁、R₂、C₁和C₂)的辨识。根据上述分析，参数辨识的流程图如图6所示。

图6

图6 基于拐点的电压分离方法流程图

Fig. 6 Flow chart of the inflection point-based voltage separation method

2 实验设置

本工作采用Chroma 17011可编程电池测试仪对锂离子电池进行充放电控制，电池保温箱型号为MJS-SP250，选用某厂商生产的18650锂离子电池作为实验对象，电池主要参数如表1所示。

表1 18650锂离子电池参数

Table 1 Parameters of 18650 lithium-ion battery

项目	规格
额定容量/电压	1.5 Ah/3.60 V
标准充电	恒流恒压(CC-CV), 0.75 A, 4.20 V±0.05 V, 100 mA截止
标准放电	恒流(CC), 0.3A, 2.50 V 截止
下/上限截止电压	2.50 V/4.20 V
运行温度	充电: 0～50 ℃ 放电: -20～60 ℃

本实验在25 ℃下进行，选取的SOC范围为10%～90%，间隔10%，实验采样时间为0.02 s。实验中首先将电池放在保温箱里2 h，使电池充分适应25 ℃环境温度，之后进行电池的最大容量测试以获得电池实际容量^[21]，具体流程如图7所示。

图7

图7 峰值电流测试流程图

Fig. 7 Flow chart of peak current test

3 实验结果及算例分析

3.1　峰值电流实验结果

实验所得的峰值电流结果如图8所示，可以看出随着SOC增长，峰值放电电流会增加，且在低SOC区间增长较为迅速，当SOC超过50%后增长较为缓慢。各SOC峰值电流激励下的响应电压如图9所示，可以看出，选择的激励电流可使电压降低至电池的下限截止电压，所以该激励电流可视为电池的峰值电流。另外图9中的响应电压也印证了1.2.2节的结论，即在峰值电流激励下电压会在末端出现急剧下降的态势。

图8

图8 18 s峰值电流随SOC变化曲线

Fig. 8 18 s peak current variation curve with SOC

图9

图9 峰值电流与响应电压

Fig. 9 Peak current and response voltage

3.2　参数辨识结果

3.2.1　辅助参数获取

根据1.3节中参数辨识方法的阐述，峰值电流下初期的电压变化可用于求取欧姆内阻R₀，各响应电压的拐点可用于分离传统RC环节和负电阻电容环节，根据峰值电流和其响应电压的实验结果，可得各SOC点下欧姆内阻R₀和响应电压拐点的对应时刻t₁₂，结果如表2所示。

表2 (10%～90%) SOC下欧姆内阻和响应电压拐点时刻

Table 2 Ohmic resistance and response voltage inflection point with (10%-90%) SOC

SOC/%	R₀/Ω	t₁₂/s
10	0.0252	6.28
20	0.0238	6.86
30	0.0231	5.16
40	0.0226	4.9
50	0.0226	5.12
60	0.0222	5.4
70	0.0216	5.66
80	0.0216	5.74
90	0.0215	4.88

得到拐点后，采用多项式拟合得到开路电压与SOC的关系式，U_oc(SOC)的多项表达式为

\begin{matrix} U_{o c} (S O C) = 3.404 + 0.0108 \times S O C - 1.895 \times 10^{- 4} \times \\ S O C^{2} + 3.536 \times 10^{- 6} \times S O C^{3} - 2.019 \times 10^{- 8} \times \\ S O C^{4} \approx 3.404 + 0.0108 \times S O C \end{matrix}

(26)

得到R₀和U_oc(SOC)后，根据式(15)可得RC环节和负电阻电容环节上的电压U_p(t)如图10所示。

图10

图10 极化电压 U_p

Fig. 10 Polarization voltage U_p

3.2.2　模型参数

得到各响应电压拐点时刻后，根据式(20)即可得出负电阻电容环节的时间常数 τ₂，结果如表3所示。

表3 (10%～90%) SOC下负电阻电容环节的时间常数

Table 3 Time constant of negative resistance-capacitance segment with (10%-90%) SOC

SOC/%	τ₂/s
10	16.3548
20	14.8882
30	10.3217
40	11.1647
50	11.1273
60	12.7702
70	13.8684
80	17.8778
90	24.0840

从表3可以看出负电阻电容环节的时间常数量级为十秒级，这也说明在响应电压后半段电压的变化主要由负电阻电容环节的阻抗决定。确定时间常数后，利用U_p(t₁₂)和U_p(t₂₂)数据，即可得到R₁和R₂，结果如图11所示。

图11

图11 R₁ 和 R₂ 随SOC变化曲线

Fig. 11 R₁ and R₂ curves with SOC

由图11可以看出，电阻R₁在SOC较小的时候较大，随着SOC的增加总体呈现下降趋势，但在SOC大于50%后趋于平缓。负电阻R₂则是当SOC较大或者较小时的绝对值较大，在SOC位于中间值(30%～70%)时趋于平缓。

在求得R₂和 τ₂后，即可表达出负电阻电容环节上的电压U₂，根据式(24)可求得传统RC环节的时间常数，取t_x =0.5 s，即可得传统RC环节的时间常数 τ₁，如表4所示。

表4 (10%～90%) SOC传统RC环节的时间常数

Table 4 Time constant of conventional RC segment with (10%-90%) SOC

SOC/%	τ₁/s
10	0.3102
20	0.3963
30	0.7598
40	0.4219
50	0.6137
60	0.5298
70	0.5958
80	0.4738
90	0.4294

由表4可得传统RC环节时间常数小于1 s，根据上述结果可根据式(25)得C₁和C₂，二者随SOC变化的趋势图如图12所示。从图12可知，C₁和C₂并不为同一个数量级，C₂需较大才能满足较大的时间常数 τ₂，C₁随SOC总体呈现增长的趋势，C₂的趋势与R₂相似，在SOC较大或较小时C₂较小。

图12

图12 C₁ 和 C₂ 随SOC变化曲线

Fig. 12 C₁ and C₂ curves with SOC

综上，通过所提的基于拐点的电压分离方法，可以分解出U₁和U₂如图13所示。从图13中可以看出，在脉冲电流作用下的初期，U_p(t)的变化主要受U₁影响，其大致形状也与U₁类似，但由于用于表达U₁的传统RC环节时间常数较短，所以在2 s以后，U₁可视为一个常数，后续电压的变化主要由U₂主导。拐点之后U_p的变化与U₂变化相同，与1.3节得到的结论相符。

图13

图13 U₁ 、 U₂ 和 U_p 对比图以及误差曲线

Fig. 13 Comparison of U₁, U₂ and U_p with error curves

分解出的U₁和U₂如图13中虚线所示，可见改进的ECM输出电压与实验得到的极化电压曲线有较好的贴合度，误差 ε 的计算公式为

ε = U_{p} (t) - [U_{1} (t) + U_{2} (t)]

(27)

误差曲线如图13中各子图中的附图所示。在不同SOC下，模型的极化电压与实验参考值的误差在整个周期内均小于0.05 V，特别是在后期极化电压迅速下降时，加入的负电阻电容环节上的电压U₂体现出了高电流倍率下极化电压增长的现象，弥补了传统RC模型结构的不足。因此，本文所提的基于负电阻电容的改进ECM能够更加精确地反映电池在高电流倍率下的端电压变化。

4 总结

针对传统阻容式ECM在高电流倍率下对电池阻抗特性表征不准确的问题，本文提出一种带有负电阻电容环节的改进ECM以表征电池在高电流倍率下出现的阻抗增长现象，弥补传统RC模型的不足。

首先，针对某厂家生产的三元锂离子电池在(10%～90%)SOC下进行了18s峰值电流实验。根据实验数据分析了电池在峰值电流下极化电压和阻抗的变化情况。其次，根据实验数据分析ECM中各元件电压特性，结果表明极化电压在脉冲电流激励下后期迅速增长，导致电池端电压急剧下降。因此，本工作通过负电阻电容环节表征高电流倍率激励下响应电压后期迅速跌落现象，将其引入传统ECM中以提升高电流倍率下的精确性。此外，本文根据负电阻电容环节和传统RC环节的特征差异提出了参数分离方法，能够更加简单地获取模型参数，计算量小。本文所提改进ECM对高电流倍率下的电压预测更加准确，预期可以采用本模型结构预测电池截止电压约束下的峰值电流，相比于传统ECM的预测，避免了因模型电压过于保守导致预测电流过大，避免了验证实验中的电池安全问题。

未来将进一步研究所提模型的快速参数辨识方法，以及将模型用于预测高电流倍率下的电压特性。此外，也将进一步探索所提出的负电阻电容环节在其他大电流场景下的适用性。

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