基于大倍率电流脉冲的动力锂离子电池阻抗模型优化

doi:10.19799/j.cnki.2095-4239.2023.0055

基于大倍率电流脉冲的动力锂离子电池阻抗模型优化

李欣雨^,, 韩雪冰^,, 卢兰光, 李建秋, 欧阳明高

清华大学汽车安全与节能国家重点实验室，北京 100084

Optimization of an impedance model for power Li-ion batteries based on a large multiplier current pulse

LI Xinyu^,, HAN Xuebing^,, LU Languang, LI Jianqiu, OUYANG Minggao

State Key Laboratory of Automotive Safety and Energy, Tsinghua University, Beijing 100084, China

通讯作者: 韩雪冰，博士，助理研究员，研究方向为智能电池管理，E-mail：hanxuebing@mail.tsinghua.edu.cn。

收稿日期: 2023-02-08 修回日期: 2023-03-08

基金资助:

北京市科技计划课题任务书. Z221100005222002

Received: 2023-02-08 Revised: 2023-03-08

作者简介 About authors

李欣雨（2000—），男，硕士研究生，从事智能电池管理方向研究，E-mail：lixinyu22@mails.tsinghua.edu.cn； E-mail：lixinyu22@mails.tsinghua.edu.cn。

摘要

随着中国能源转型的推进，动力电池使用量逐年上升。随之而来的电池安全运行问题逐渐凸显。在保障电池稳定运行的电池管理系统(Battery management system，BMS)中，等效电路模型(Equivalent circuit model，ECM)是其工作的基础核心。而目前的电池管理系统模型主要为线性模型，且受限于计算量和芯片的计算能力，无法合理表达电池在极端工况下，如大功率等情况下的非线性特征。针对这一问题，本文从可用功率角度出发，对电池进行了不同倍率的脉冲放电实验，分析了不同倍率情况下电池内阻的非线性特征，改进了电池的等效电路模型，建立了高倍率条件下阻抗随电流的变化关系。实验结果表明改进后的等效电路模型的模型误差为1.74%，远小于旧模型的8%。研究成果比传统等效电路模型相比提高了精度，且计算量比P2D(Pseudo-two-dimensions，P2D)模型小，预期可以用于BMS中电池模型可用功率的在线仿真计算，避免动力电池过功率放电，提高电动自行车使用安全性。

关键词： 锂离子电池 ; 模型参数 ; 电池阻抗 ; 阻抗模型优化 ; 倍率特性实验 ; 主动管理

Abstract

With the advancement of energy transition in China, using power batteries is rising yearly. The problem of battery safety has gradually come to the fore. In the battery management system (BMS), the equivalent circuit model (ECM) is the core of its work to ensure safe and stable operation. The current battery model in the BMS is mainly linear, which is limited by the computational volume and the computing power of the chip, which cannot reasonably and practically express the nonlinear characteristics of the battery under extreme operating conditions, such as high power. To address this problem, herein, from the perspective of available power, pulse discharge experiments are conducted on the battery at different multipliers to analyze the nonlinear characteristics of the internal resistance of the battery, improve the equivalent circuit model of the battery, and establish the variation of impedance with current under high multiplier conditions. The error of the improved impedance model is 1.74%, considerably smaller than the 8% of the old model. The results show an improved accuracy compared with the traditional equivalent circuit model, and the calculated computational volume is smaller than that of the P2D model, which is expected to be used in the online simulation calculation of the battery model in BMS to avoid over-power discharge of power batteries and improve the safety of battery use.

Keywords： lithium ion battery ; model parameters ; battery impedance ; impedance model optimization ; rate characteristic experiment ; active management

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本文引用格式

李欣雨, 韩雪冰, 卢兰光, 李建秋, 欧阳明高. 基于大倍率电流脉冲的动力锂离子电池阻抗模型优化[J]. 储能科学与技术, 2023, 12(5): 1686-1694

LI Xinyu. Optimization of an impedance model for power Li-ion batteries based on a large multiplier current pulse[J]. Energy Storage Science and Technology, 2023, 12(5): 1686-1694

随着新能源科学的不断发展，以及能源危机的不断加剧，全球对发展新型清洁能源的诉求也越来越强烈^[1-3]。锂离子电池作为新型动力单元和储能单元，具有能量高，体积小，寿命长等优点^[4]。锂离子电池将在我国的“碳达峰，碳中和”战略目标中扮演重要角色。电动汽车，电动自行车，储能电站，移动终端等都是锂离子电池的应用场景^{[1, 5-6]}。如图1所示，预计2023年全球动力电池和储能电池市场规模将接近600 GWh，2025年全球锂离子电池装机量将达到1255 GWh。随着锂离子电池成本的不断下降和电池技术的不断进步，全球锂离子电池市场将继续保持较快增长^[7]。

图1

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图1 全球动力电池及储能电池市场规模预测

Fig. 1 Market size forecast of global power battery and energy storage battery

锂离子电池在使用过程中会因材料老化等问题而可能出现安全隐患，甚至造成安全事故^[8]。电池的不当使用，如过功率使用，会加速电池的老化^[9]。截至目前，全国各地已经发生了多起电动自行车自燃等事故。2015年5月7日，台州市黄岩区发生一起夜间电动自行车充电起火事故，造成1人死亡，2人受伤^[10]。2016年8月29日，深圳市宝安区某小区1楼20多辆电动自行车起火，并引发火灾，造成7人遇难，86人受伤^[11]。电池管理系统(Battery management system，BMS)能够对电池的功率运行状态等状态参数进行估计和调控，从而减缓电池老化^[12]。因此，BMS对电池可用功率的估计对电池的安全运行来说具有十分重要的意义。

BMS主要通过电池模型对电池的荷电状态(State of charge，SOC)、健康状态(State of health，SOH)、功率状态(State of power，SOP)、剩余能量状态(State of energy，SOE)等状态量进行估计^[13-17]。由于SOP需要估计电池可以放出的功率，需要更加精确的模型，以确定在不同电流下电池端电压的情况，从而分析计算电池的许用功率值^{[14, 18]}。

电池模型是BMS算法的核心，其包括机理模型和等效电路模型^{[15, 19-21]}。而由于实际算力等原因，通常BMS中采用等效电路模型描述电池特性^[21]。等效电路模型(Equivalent circuit model，ECM)中会包含一个电压源和若干个阻容元件，其阻容元件描述了电池在有电流激励情况下的电压响应情况^[22]。电池常用的等效电路模型有以下几种。

Rint模型：Rint模型是最简单的等效电路模型。其包括一个理想电压源和一个等效内阻 $R_{0}$ 。电池的内阻 $R_{0}$ 和理想开路电压 $U_{O C}$ 是SOC和温度的函数。并且在同一SOC下，电池充电时的内阻也会发生变化。Rint模型的输出电压 $U_{L}$ 与输出电流的关系如式(1)所示：

$U L = U O C - I t R 0$ (1)

Thevenin模型：即一阶RC模型，相比Rint模型，该模型增加了对动力电池极化特性研究。其中， $R_{P}$ 和 $C_{P}$ 分别为极化内阻和计划电容； $R_{P}$ 与 $C_{P}$ 形成的RC并联环节的电压降，用于模拟动力电池的极化电压。其电路模型的电路方程如式(2)所示：

$U L = U O C - U 0 - U p I (t) = C p d U p / d t + U p / R 0$ (2)

DP模型：DP模型使用两个RC并联环节描述动力电池极化特性。该电路模型的方程如式(3)所示：

$U ˙ 1 = I (t) / C 1 - U 1 / R 1 C 1 U ˙ 2 = I (t) / C 2 - U 2 / R 2 C 2 U L = U O C - U 1 - U 2 - I (t) R 0$ (3)

目前，有关电池内阻的研究仍然较少。大部分研究认为内阻是电池内部的一个参数，可以通过最小二乘法(Recursive least square，RLS)、扩展卡尔曼滤波(Extended kalman filter，EKF)等方法进行在线辨识^{[21, 23-24]}。对于可用功率估计而言，往往需要电池模型在高倍率条件下具有非常高的精度，从而确保电池许用功率估计的精度。而基于此类线性模型所模拟得出的电池特性在高倍率电流的情况下不能很好地符合电池的非线性特征，模型结果与实际电池特性误差较大。Fleischer^[25]研究了不同电流下电池内阻的情况，并基于此结果进行了建模和电池SOP算法开发，阐述了电池阻抗与电流之间的关系。然而电池阻抗与电流之间的关系尚需更深入的探索……

现有的电池SOP估计算法，通常考虑电池的电流、SOC和端电压约束条件，从而获得最大充放电功率，得到电池的SOP^[26]。Xiong等人^[27]利用电池一阶RC模型，辨识得到电池的参数，进而得到电池功率输出能力SOP。Waag等^[28]也利用电池一阶RC模型，并考虑了不同电流下电池的内阻不同，估计了电池的SOP；并针对电池组内电池不一致性，提出了相应的电池组SOP算法。随着电池的使用，电池逐渐衰减，电池模型参数如容量、内阻等也会发生变化，因此SOP估计也应当考虑电池的SOH，修正所使用电池模型的参数值。然而，目前的SOP所采用的模型，无法准确反映在不同倍率下，尤其是高倍率条件下的电池阻抗特性。

因此，本文开展不同倍率电池脉冲放电实验，研究电池阻抗特性。基于实验结果，提出了新的电池阻抗模型，从而实现大倍率条件下电池特性的高精度描述。预期成果可以用于动力电池的SOP算法开发。本研究成果在设计时考虑到其模型本身的迁移应用特点，如储能电池领域，高比容量电池领域，或其他动力电池领域，如电动自行车领域。且目前存在电池容量达到30 Ah的两轮电动自行车型号，如雅迪YD1200DT-F，其电池容量可达35 Ah。因此，本研究成果也可以为电池风险感知提供基础，提高电池使用安全性。

1 实验设备与实验设计

1.1　实验对象及设备

如图2所示，本论文实验对象为某厂商42 Ah三元锂离子电池。电池尺寸为14.83×2.8×9.28 cm。电池单体标准电压为3.7 V，循环寿命为1500次以上，电芯内阻为0.75 mΩ，工作温度范围为-20 ℃～60 ℃。

图2

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图2 三元锂离子电池单体

Fig. 2 Ternary lithium ion battery

电池实验设备为一个8通道的迪卡龙BNT48V电池充放电测试设备和电池测试恒温恒湿箱。迪卡龙充放电测试设备尺寸为1995 mm×800 mm×870 mm，具有单个500 A，100VDC充电/放电电路。设备可由电池管理器或CAN总线控制。

电池测试恒温恒湿箱型号为科明科技KMT-150。其内箱单个槽尺寸为50 cm×60 cm×50 cm。温度范围为-20～180 ℃，温度偏差≤±2.0 ℃，温度波动度为±0.5 ℃，温度均匀度≤±1.5 ℃。

1.2　实验设计及流程

实验对象三元锂离子电池的开路电压特性如下图3(a)所示。为研究电池的内阻特性，通过脉冲法对电池进行内阻测试。在相同SOC(100%)且相同温度(25 ℃)的条件下，进行了不同大小电流的脉冲30 s放电实验，放电电流实验点如下图3(b)所示。其中，由于测试台架测量范围限制，最大放电电流为500 A，约合12 C。

图3

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图3 (a)电池开路电压特性曲线，(b)脉冲法电池试验点

Fig. 3 (a)Battery open-circuit voltage characteristic curve, (b)Pulse method battery test points

如图4所示，实验首先将多块充满电的同一型号电池放在25 ℃的恒温放电箱中静置3 h，保证电池的温度维持在25 ℃。然后按照图3(b)所示的实验序号，将电池安放在放电机上，进行不同倍率的30 s脉冲放电实验。充放电机的采样频率为1 Hz。

图4

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图4 电池测试流程图

Fig. 4 Flow chart of battery test

2 电池建模及修正方法

2.1　电池一阶RC等效电路模型

在电池管理系统之中，通常使用如图5所示的电池等效电路模型，即一阶RC等效电路模型描述电池特性。其中E为开路电压，R代表了电池的欧姆阻抗，R₁、C₁则代表了电池的极化过程，包括电荷转移、SEI(Solid electrolyte interphase)阻抗、扩散等过程。通常1个RC不能精确地描述电池的极化特性，为提高精度可以选择2个甚至多个RC环节。

图5

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图5 电池一阶RC模型

Fig. 5 First order RC model of the battery

假设有n个RC组分，则对于第i个RC环节来讲，有：

U_{i, k} = U_{i, k - 1} e^{- \frac{Δ t}{τ_{i}}} + I_{k} R_{i} (1 - e^{- \frac{Δ t}{τ_{i}}})

(4)

其中， τ_i =R_iC_i，代表了RC环节的时间常数。

对于有n个RC环节的等效电路来讲，则可以使用如下的方程进行描述。

U_{k} = E_{k} + I_{k} R + \sum_{i = 1}^{n} U_{i, k}

(5)

从BMS实用的角度出发，通常一阶RC模型足以描述电池的行为，其误差在可以接受的范围内。如图5所示的等效电路模型，可以使用如下的方程进行描述。

U_{k} = E_{k} + I_{k} R + U_{1, k}

(6)

2.2　不同倍率条件下的电池阻抗模型

实验室中，通过对电池施加电流脉冲，测量电池的电压响应以确定电池的阻抗特性。通常施加给电池的电流脉冲如图6(a)所示，依据电池的用途，施加的电流脉冲时间不同，通常为10 s或者30 s。相应的电池电压响应如图6(b)所示。根据电池的电压响应情况，可以计算电池的内阻，通常定义电池的欧姆内阻为：

图6

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图6 脉冲实验曲线示意图

Fig. 6 Schematic diagram of pulse experiment curve

R_{o h m} = \frac{U_{a} - U_{0}}{I}

(7)

电池的30 s内阻如式(8)所示：

R_{30 s} = \frac{U_{b} - U_{0}}{I}

(8)

事实上，可以推广定义脉冲测试情况下，电池不同时间阶段的内阻值R(t)如式(9)所示：

R (t) = \frac{Δ U (t)}{I}

(9)

理论上讲，在不考虑SOC变化的情况下，依据如图5所示的等效电路模型，如式(10)所示：

R (t) = R + R_{1} (1 - e^{- \frac{t}{τ}})

(10)

当t充分大的时候，R(∞)即等于R+R₁。

如果考虑SOC变化导致的开路电压变化影响，则可以得到式(11)：

R (t) \approx R + \frac{E (t) - E (0)}{I} + R_{1} (1 - e^{- \frac{t}{τ}})

(11)

其中，电池的开路电压符合式(12)：

E (t) = f [z (t)]

(12)

其中f(·)代表了SOC与开路电压的关系函数，z代表了电池的SOC，z(0)为脉冲前的电池SOC，而z(t)为t时刻电池SOC，符合：

z (t) = z (0) + \frac{I t}{η C}

(13)

进一步近似认为脉冲时间内，电池的开路电压变化符合线性，则可以得到：

R (t) \approx R + {\frac{\partial E}{\partial z}|}_{z (0)} \frac{t}{η C} + R_{1} (1 - e^{- \frac{t}{τ}})

(14)

其中z为SOC。

如图7(a)所示，为R(t)示意图，R(t)即为ΔU/I。随着时间增长，R(t)也逐渐增加。

图7

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图7 (a)脉冲实验下 R(t)变化曲线 (b)等效电路模型假设下的SOP估计结果示意图

Fig. 7 (a) R(t) change curves under pulse experiment (b) Schematic diagram of SOP estimation results under the assumption of equivalent circuit model

通常认为，电流越大，极化内阻越小。这一点主要可能由于以下原因导致：大电流导致电池内部显著的温度增加，以及活化过电势与电流之间存在的非线性关系，随着电流增加，活化过电势增长速率降低，也就是说：

R (t) \approx R + \frac{\partial E}{\partial z} \frac{t}{η C} + R_{1} (I) (1 - e^{- \frac{t}{τ}})

(15)

按照Sauer论文的结果，认为R₁(I)符合：

R_{1} (I) = R_{1} ｛\frac{l n [k I + \sqrt[]{{(k I)}^{2} + I}]}{k I}｝

(16)

具体推导过程见附录5.1。在此模型下，基于小电流工况下获得的电池阻抗比实际大电流脉冲下的阻抗要大。因此，SOP估计结果如图7(b)所示，使用小电流测试得到的电池阻值大于实际大电流情况下的电池阻值，则根据此偏大阻值估计得到的电池许用电流和许用功率会偏小。也就是说，估计得到的SOP结果是比较保守的，应用此SOP结果，电池应该会更加安全，不会到达截止电压，引起安全性和耐久性问题。

2.3　电池阻抗模型修正

然而实际情况中，在大电流条件下，电池的内部阻抗会出现迅速增大的情况。这与基于上述模型所得的结论相反，具体结果详见3.1部分。为解决上述过放电问题，需要开发适用于大倍率脉冲工况的电池模型。首先需要分析电池阻抗在不同工况下的特性。

5 s、15 s、30 s内阻情况如图8所示。可以看到在t=5 s的情况下，电池的内阻仍然随着电流增加而减小，表明电池的阻抗仍然符合公式(16)描述的模型。但是在当前的温度和SOC情况下，本论文中测试的电芯在不同倍率下所对应的阻值相差较小，其差距基本只有约3%。因而基本可以忽略电流对内阻值的影响。而在t=15 s和30 s的情况下，在大于6 C的情况下，电池表现出来的内阻随着电流的增长会迅速的增加。

图8

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图8 电池内阻与倍率的关系

Fig. 8 Relationship between battery internal resistance and multiplier

可以看到，当电流大于8 C时，电池的阻抗特性已经完全不同，需要基于新的模型进行电池特性的分析。基于以往的成果，这一现象可以使用电池内部固相扩散理论进行解释。分析如图9所示，在大倍率情况下，由于固相扩散导致颗粒表面浓度与平均浓度出现较大差异，导致电池电压迅速下降，体现为阻抗急剧增加。

图9

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图9 电池大倍率冲放电电压变化分析示意图

Fig. 9 Schematic diagram of voltage change analysis of battery high rate charge discharge

具体而言，在大倍率情况下，颗粒表面SOC和平均SOC产生极大的差异，颗粒表面SOC指数函数迅速降低，相应的电池表面SOC决定的电池开路电压也迅速降低，导致电池端电压随着加速下降。也就是说在式(11)中电池的开路电压E符合下式(17)：

E (k) = f [z_{s u r f} (t)]

(17)

在电流小于等于6 C，或者电流虽然大于6 C，但是 $t < t_{t h r e s h o l d}$ 的情况下，可以忽略表面SOC和平均SOC的差别，表面SOC即等于其平均SOC，则上述式(17)即可以简化为式(12)。而当电流大于6 C的情况下，当 $t > t_{t h r e s h o l d}$ 的时候，则表面SOC和平均SOC之间的差异不可以忽略，必须予以考虑。这里 $t_{t h r e s h o l d}$ 应当为电流的函数，不过为了简化考虑，可以认为其即为一个常数，适用于电流为8～12 C的情况。

当电流大于8 C，且 $t > t_{t h r e s h o l d}$ 时，电池的表面SOC与平均SOC之差会按照指数规律增加，指数速度与倍率线性相关，即

z_{s u r f} (t) = \{\begin{matrix} z (t) \\ z (t) + C (1 - e^{(A I + B) (t - t_{t h r e s h o l d})}) \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix} t \leq t_{t h r e s h o l d} \\ t > t_{t h r e s h o l d} \end{matrix}

(18)

3 实验结果与分析

3.1　不同倍率电池脉冲放电实验结果分析

实际情况下测试得到100%SOC下电池，在不同脉冲电流下，电池电压响应曲线如下图10(a)所示。可以看到实际测试的结果与通常的经验情况有较大的差别。可以绘制脉冲实验测试过程中不同电流下的ΔU/I，也就是R(t)曲线如下图10(b)所示。

图10

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图10 (a)不同倍率电池脉冲放电实验曲线 (b)不同倍率电池脉冲放电电池 R(t)变化曲线

Fig. 10 (a) Experimental curves of battery pulse discharge at different rates (b) R(t) curve of pulse discharge battery with different rates

可以看到，对于所测试的电池来讲，在电流小于等于6 C的情况下，电池的内阻变化情况基本都遵循相同的规律，基本符合公式(15)。然而，当电流超过6 C以后，电池的电压变化以及表现出来的阻抗变化情况，已经无法使用公式(15)来描述。在大电流情况下，电池的阻抗迅速增加，远大于小电流情况下的阻抗值，导致电池电压迅速降低。如果依旧遵循公式(15)，利用小电流情况下获得的电池内阻进行电池SOP估计的时候，其结果非但不是偏小的，反而是严重偏大的。这可能会导致电池迅速达到甚至超过截止电压，导致电池出现安全性和耐久性问题。

3.2　基于常用等效电路模型的脉冲放电实验及仿真结果分析

按照常用的等效电路模型，依据小倍率情况下电池电压的响应拟合电池模型，按照式(14)进行不同倍率脉冲放电下的电池模型仿真，电压曲线如图11所示。相应的在进行最大需用电流估计的时候，在不考虑电池在大倍率放电情况下的电压急剧下降现象，根据公式(14)，电池的30 s最大可用电流符合下式所示：

I = \frac{E (0) - U_{m i n}}{R_{30 s}} = - \frac{E (0) - U_{m i n}}{R + \frac{\partial E}{\partial z} \frac{30}{η C} + R_{1} (1 - e^{- \frac{30}{τ}})}

(19)

图11

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图11 实验曲线与常用等效电路模型对比图

Fig. 11 Comparison of experimental curve and common equivalent circuit model

根据上式，可以计算得到，电池的30 s许用电流为708 A。然而，在500 A的情况下，仅仅经过不足20 s，电池电压已经降低到了放电截止电压。如果按照708 A去使用电池30 s，肯定会导致电池过放电，影响电池寿命安全。

3.3　基于改进的阻抗模型的脉冲放电实验及仿真结果分析

采用改进后的电池阻抗模型，按照式(18)进行不同倍率脉冲放电下的电压曲线仿真。其中，公式(18)中的参数通过遗传算法强行优化得出。曲线模拟结果如下图12所示，新模型和原始模型的误差对比如下表1所示。

图12

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图12 实验曲线与改进模型的仿真结果对比

Fig. 12 Comparison of experimental curves and simulation results of the improved model

表1 原始等效电路模型和改进模型仿真误差比较

Table 1 Comparison of simulation errors between the original equivalent circuit model and the improved model

倍率/C	原始模型误差(绝对值/相对值)	改进模型误差(绝对值/相对值)
4 C	3.5 mV/0.09%	3.5 mV/0.09%
6 C	4.8 mV/0.13%	4.8 mV/0.13%
8 C	28.7 mV/0.84%	12.9 mV/0.38%
10 C	188.7 mV/6.56%	27.7 mV/0.96%
11.9 C	222.6 mV/8.39%	46.2 mV/1.74%

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可以看到，采用旧模型且大倍率情况下，其误差较大，可能高达200 mV以上，相对误差为8%；采用新模型，可以有效改善高电压降情况，模型误差大幅度降低，相对误差可达1.74%。其中，表中模型误差由每个倍率下最后一个采样点的实验值与模拟值相减计算得到。

绝对误差算法：

Δ V_{a b s} = |V_{e x p} - V_{m o d}|

(20)

相对误差算法：

η_{r e l} = (V_{e x p} - V_{m o d}) / V_{e x p} \times 100 %

(21)

4 总结与展望

本文研究了42 Ah动力电池不同倍率下的阻抗特性，针对不同电流下电池的内阻进行了研究与建模分析，研究成果可用于BMS中的电池模型实时仿真计算，对电池的SOP估计具有较大的意义。

首先，针对某款商用三元锂离子电池开展了不同倍率的脉冲放电实验，研究电池内阻的特性；其次，分析了电池阻抗与电流的关系，结果表明在电池超过一定倍率和脉冲时间超过一定长度后，电池阻抗将体现出与小倍率情况相比截然不同的特性；基于实验结果和理论分析，提出了新的电池模型，以高精度的描述电池在大倍率情况下的特性。

研究成果相比较传统的ECM提高了精度，而相比P2D机理模型则计算量非常小，预期可以用于BMS中电池模型的在线仿真和计算，提高电池SOP估计精度，防止SOP估计结果过大，导致动力电池在使用过程中出现过放等安全问题。从而更好地实现电池的主动安全管理及优化，确保电池使用安全和提升电池使用寿命。而SOP算法与传统SOP算法相同，本文不再赘述。

本文对高倍率下的电池阻抗模型进行了改进，其模型可以应用于高倍率下的SOP的估计。未来拟进一步针对不同类型的电动自行车动力电池，对在不同温度和不同SOC情况下的动力电池阻抗特性进行深入的研究和探索。

5 附录

5.1　对电池电阻 $R (I)$ 的电流依赖性进行建模

阻抗 $R (I)$ 主要和电荷转移反应有关，用巴特勒-伏尔摩方程可以描述为：

I = A \cdot i_{0} \cdot (e x p (\frac{a_{a} \cdot n \cdot F}{R_{g} \cdot T} \cdot V_{C}) - e x p (\frac{- a_{c} \cdot n \cdot F}{R_{g} \cdot T} \cdot V_{C}))

(5-1)

$A$ 是电极活性面积； $a_{c}$ 和 $a_{a}$ 是阴极和阳极的电荷转移系数( $a_{c}$ + $a_{a}$ =1)； $n$ 是参与电极反应的电子数； $F$ 是法拉第常数； $R_{g}$ 是通用气体常数； $T$ 是绝对温度； $V_{C}$ 是活化过电势。

假设阳极和阴极的电荷转移系数相等( $a_{c}$ = $a_{a}$ )(对锂离子电池来说是合理的)，并且用 $I_{0}$ = $2 \cdot A \cdot i_{0}$ 和 $K = \frac{a_{a} \cdot n \cdot F}{R_{g} \cdot T}$ 两个替换，B-V方程可以表示为：

I = I_{0} (\frac{e x p (K \cdot V_{C}) - e x p (- K \cdot V_{C})}{2})

(5-2)

应用双曲正弦函数的定义y=sinh(x)=[exp(x)- $e x p (- x)] / 2$ 并且使用其反函数x= $s i n h^{- 1} (y)$ ，其活化过电势可以写为：

V_{C} = \frac{1}{K} \cdot s i n h^{- 1} (\frac{I}{I_{0}})

(5-3)

其阻抗 $R (I)$ 可以定义为：

R (I) = \frac{V_{C}}{I} = \frac{1}{K \cdot I} \cdot s i n h^{- 1} (\frac{I}{I_{0}})

(5-4)

最后，使用替换式 $R_{1} = {(I_{0} \cdot K)}^{- 1}$ 和 $k = 1 / I_{0}$ 以及反双曲正弦函数的定义为对数 $s i n h^{- 1} (x) = l n (x + \sqrt[]{x^{2} + 1})$ ，其阻抗可以表示为：

R (I) = R_{1} \cdot \{\frac{l n [k \cdot I + \sqrt[]{(k \cdot I) + 1}]}{k \cdot I}\}

(5-5)

$I = 0$ 时的奇点可以使用以下公式替换来解决：

R (I = 0) = \underset{I \to 0}{l i m} R_{1} \cdot \{\frac{l n [k \cdot I + \sqrt[]{{(k \cdot I)}^{2} + 1}]}{k \cdot I}\} = R_{1}

(5-6)

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原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

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... 随着新能源科学的不断发展，以及能源危机的不断加剧，全球对发展新型清洁能源的诉求也越来越强烈^[1-3].锂离子电池作为新型动力单元和储能单元，具有能量高，体积小，寿命长等优点^[4].锂离子电池将在我国的“碳达峰，碳中和”战略目标中扮演重要角色.电动汽车，电动自行车，储能电站，移动终端等都是锂离子电池的应用场景^{[1, 5-6]}.如图1所示，预计2023年全球动力电池和储能电池市场规模将接近600 GWh，2025年全球锂离子电池装机量将达到1255 GWh.随着锂离子电池成本的不断下降和电池技术的不断进步，全球锂离子电池市场将继续保持较快增长^[7]. ...

... [1, 5-6].如图1所示，预计2023年全球动力电池和储能电池市场规模将接近600 GWh，2025年全球锂离子电池装机量将达到1255 GWh.随着锂离子电池成本的不断下降和电池技术的不断进步，全球锂离子电池市场将继续保持较快增长^[7]. ...

... 锂离子电池在使用过程中会因材料老化等问题而可能出现安全隐患，甚至造成安全事故^[8].电池的不当使用，如过功率使用，会加速电池的老化^[9].截至目前，全国各地已经发生了多起电动自行车自燃等事故.2015年5月7日，台州市黄岩区发生一起夜间电动自行车充电起火事故，造成1人死亡，2人受伤^[10].2016年8月29日，深圳市宝安区某小区1楼20多辆电动自行车起火，并引发火灾，造成7人遇难，86人受伤^[11].电池管理系统(Battery management system，BMS)能够对电池的功率运行状态等状态参数进行估计和调控，从而减缓电池老化^[12].因此，BMS对电池可用功率的估计对电池的安全运行来说具有十分重要的意义. ...

... BMS主要通过电池模型对电池的荷电状态(State of charge，SOC)、健康状态(State of health，SOH)、功率状态(State of power，SOP)、剩余能量状态(State of energy，SOE)等状态量进行估计^[13-17].由于SOP需要估计电池可以放出的功率，需要更加精确的模型，以确定在不同电流下电池端电压的情况，从而分析计算电池的许用功率值^{[14, 18]}. ...

... 电池模型是BMS算法的核心，其包括机理模型和等效电路模型^{[15, 19-21]}.而由于实际算力等原因，通常BMS中采用等效电路模型描述电池特性^[21].等效电路模型(Equivalent circuit model，ECM)中会包含一个电压源和若干个阻容元件，其阻容元件描述了电池在有电流激励情况下的电压响应情况^[22].电池常用的等效电路模型有以下几种. ...

... [21].等效电路模型(Equivalent circuit model，ECM)中会包含一个电压源和若干个阻容元件，其阻容元件描述了电池在有电流激励情况下的电压响应情况^[22].电池常用的等效电路模型有以下几种. ...

... 目前，有关电池内阻的研究仍然较少.大部分研究认为内阻是电池内部的一个参数，可以通过最小二乘法(Recursive least square，RLS)、扩展卡尔曼滤波(Extended kalman filter，EKF)等方法进行在线辨识^{[21, 23-24]}.对于可用功率估计而言，往往需要电池模型在高倍率条件下具有非常高的精度，从而确保电池许用功率估计的精度.而基于此类线性模型所模拟得出的电池特性在高倍率电流的情况下不能很好地符合电池的非线性特征，模型结果与实际电池特性误差较大.Fleischer^[25]研究了不同电流下电池内阻的情况，并基于此结果进行了建模和电池SOP算法开发，阐述了电池阻抗与电流之间的关系.然而电池阻抗与电流之间的关系尚需更深入的探索…… ...

... 现有的电池SOP估计算法，通常考虑电池的电流、SOC和端电压约束条件，从而获得最大充放电功率，得到电池的SOP^[26].Xiong等人^[27]利用电池一阶RC模型，辨识得到电池的参数，进而得到电池功率输出能力SOP.Waag等^[28]也利用电池一阶RC模型，并考虑了不同电流下电池的内阻不同，估计了电池的SOP；并针对电池组内电池不一致性，提出了相应的电池组SOP算法.随着电池的使用，电池逐渐衰减，电池模型参数如容量、内阻等也会发生变化，因此SOP估计也应当考虑电池的SOH，修正所使用电池模型的参数值.然而，目前的SOP所采用的模型，无法准确反映在不同倍率下，尤其是高倍率条件下的电池阻抗特性. ...

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